Арифметические операции в системах счисления. Арифметические действия в различных системах счисления Системы счисления выполнение арифметических операций

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же правилам. Для проведения арифметических операций над числами, представленными в различных системах счисления, необходимо предварительно преобразовать их в одну систему счисления и учесть то, что перенос в следующий разряд при операции сложения и заем из старшего разряда при операции вычитания определяется величиной основания системы счисления.

Арифметические операции в двоичной системе счисления основаны на таблицах сложения, вычитания и умножения одноразрядных двоичных чисел.

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос единицы в старший разряд, при вычитании 0–1 производится заем из старшего разряда, в таблице «Вычитание» этот заем обозначен 1 с чертой над цифрой (Таблица 3).

Таблица 3

Ниже приведены примеры выполнения арифметических операций над числами, представленными в различных системах счисления:

Арифметические операции над целыми числами, представленными в различных системах счисления, достаточно просто реализуются с помощью программ Калькулятор и MS Excel.

1.3. Представление чисел в компьютере

Числовые данные обрабатываются в компьютере в двоичной системе счисления. Числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, т. е. в виде последовательности нулей и единиц, и могут быть представлены в формате с фиксированной или плавающей запятой.

Целые числа хранятся в памяти в формате с фиксированной запятой. При таком формате представления чисел для хранения целых неотрицательных чисел отводится регистр памяти, состоящий из восьми ячеек памяти (8 бит). Каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а запятая находится справа после младшего разряда и вне разрядной сетки. Например, число 110011012 будет храниться в регистре памяти следующим образом:

Таблица 4

Максимальное значение целого неотрицательного числа, которое может храниться в регистре в формате с фиксированной запятой, можно определить из формулы: 2n – 1, где n – число разрядов числа. Максимальное число при этом будет равно 28 – 1 = 25510 = 111111112и минимальное 010 = 000000002. Таким образом, диапазон изменения целых неотрицательных чисел будет находиться в пределах от 0 до 25510.

В отличие от десятичной системы в двоичной системе счисления при компьютерном представлении двоичного числа отсутствуют символы, обозначающие знак числа: положительный (+) или отрицательный (-), поэтому для представления целых чисел со знаком в двоичной системе используются два формата представления числа: формат значения числа со знаком и формат дополнительного кода. В первом случае для хранения целых чисел со знаком отводится два регистра памяти (16 бит), причем старший разряд (крайний слева) используется под знак числа: если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное, то – 1. Например, число 53610 = 00000010000110002 будет представлено в регистрах памяти в следующем виде:

Таблица 5

а отрицательное число -53610 = 10000010000110002 в виде:

Таблица 6

Максимальное положительное число или минимальное отрицательное в формате значения числа со знаком (с учетом представления одного разряда под знак) равно 2n-1 – 1 = 216-1 – 1 = 215 – 1 = 3276710 = 1111111111111112 и диапазон чисел будет находиться в пределах от -3276710 до 32767.

Наиболее часто для представления целых чисел со знаком в двоичной системе применяется формат дополнительного кода, который позволяет заменить арифметическую операцию вычитания в компьютере операцией сложения, что существенно упрощает структуру микропроцессора и увеличивает его быстродействие.

Для представления целых отрицательных чисел в таком формате используется дополнительный код, который представляет собой дополнение модуля отрицательного числа до нуля. Перевод целого отрицательного числа в дополнительный код осуществляется с помощью следующих операций:

1) модуль числа записать прямым кодом в n (n = 16) двоичных разрядах;

2) получить обратный код числа (инвертировать все разряды числа, т. е. все единицы заменить на нули, а нули – на единицы);

3) к полученному обратному коду прибавить единицу к младшему разряду.

Например, для числа -53610 в таком формате модуль будет равен 00000010000110002, обратный код – 1111110111100111, а дополнительный код – 1111110111101000.

Необходимо помнить, что дополнительный код положительного числа – само число.

Для хранения целых чисел со знаком помимо 16-разрядного компьютерного представления, когда используются два регистра памяти (такой формат числа называется также форматом коротких целых чисел со знаком), применяются форматы средних и длинных целых чисел со знаком. Для представления чисел в формате средних чисел используется четыре регистра (4 х 8 = 32 бит), а для представления чисел в формате длинных чисел – восемь регистров (8 х 8 = 64 бита). Диапазоны значений для формата средних и длинных чисел будут соответственно равны: -(231 – 1) … + 231 – 1 и -(263-1) … + 263 – 1.

Компьютерное представление чисел в формате с фиксированной запятой имеет свои преимущества и недостатки. К преимуществам относятся простота представления чисел и алгоритмов реализации арифметических операций, к недостаткам – конечный диапазон представления чисел, который может быть недостаточным для решения многих задач практического характера (математических, экономических, физических и т. д.).

Вещественные числа (конечные и бесконечные десятичные дроби) обрабатываются и хранятся в компьютере в формате с плавающей запятой. При таком формате представления числа положение запятой в записи может изменяться. Любое вещественное число К в формате с плавающей запятой может быть представлено в виде:

где А – мантисса числа; h – основание системы счисления; p – порядок числа.

Выражение (2.7) для десятичной системы счисления примет вид:

для двоичной -

для восьмеричной -

для шестнадцатеричной -

Такая форма представления числа также называется нормальной . С изменением порядка запятая в числе смещается, т. е. как бы плавает влево или вправо. Поэтому нормальную форму представления чисел называют формой с плавающей запятой . Десятичное число 15,5, например, в формате с плавающей запятой может быть представлено в виде: 0,155 · 102; 1,55 · 101; 15,5 · 100; 155,0 · 10-1; 1550,0 · 10-2 и т. д. Эта форма записи десятичного числа 15,5 с плавающей запятой не используется при написании компьютерных программ и вводе их в компьютер (устройства ввода компьютеров воспринимают только линейную запись данных). Исходя из этого выражение (2.7) для представления десятичных чисел и ввода их в компьютер преобразовывают к виду

где Р – порядок числа,

т. е. вместо основания системы счисления 10 пишут букву Е, вместо запятой – точку, и знак умножения не ставится. Таким образом, число 15,5 в формате с плавающей запятой и линейной записи (компьютерное представление) будет записано в виде: 0.155Е2; 1.55Е1; 15.5Е0; 155.0Е-1; 1550.0Е-2 и т.д.

Независимо от системы счисления любое число в форме с плавающей запятой может быть представлено бесконечным множеством чисел. Такая форма записи называется ненормализованной . Для однозначного представления чисел с плавающей запятой используют нормализованную форму записи числа, при которой мантисса числа должна отвечать условию

где |А| - абсолютное значение мантиссы числа.

Условие (2.9) означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля, или, другими словами, если после запятой в мантиссе стоит не нуль, то число называется нормализованным. Так, число 15,5 в нормализованном виде (нормализованная мантисса) в форме с плавающей запятой будет выглядеть следующим образом: 0,155 · 102, т. е. нормализованная мантисса будет A = 0,155 и порядок Р = 2, или в компьютерном представлении числа 0.155Е2.

Числа в форме с плавающей запятой имеют фиксированный формат и занимают в памяти компьютера четыре (32 бит) или восемь байт (64 бит). Если число занимает в памяти компьютера 32 разряда, то это число обычной точности, если 64 разряда, то это число двойной точности. При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, мантиссы и порядка. Количество разрядов, которое отводится под порядок числа, определяет диапазон изменения чисел, а количество разрядов, отведенных для хранения мантиссы, – точность, с которой задается число.

При выполнении арифметических операций (сложение и вычитание) над числами, представленными в формате с плавающей запятой, реализуется следующий порядок действий (алгоритм) :

1) производится выравнивание порядков чисел, над которыми совершаются арифметические операции (порядок меньшего по модулю числа увеличивается до величины порядка большего по модулю числа, мантисса при этом уменьшается в такое же количество раз);

2) выполняются арифметические операции над мантиссами чисел;

3) производится нормализация полученного результата.

Кроме десятичной существует неизмеримое количество других систем, при этом некоторые из них используются для представления и обработки информации в компьютере. Существуют два вида систем счисления: позиционные и непозиционные.

Непозиционными системами называются такие, у которых каждая цифра сохраняет свое значение независимо от места нахождения в числе. Примером может служить римская система счисления, в которой используются такие цифры как I, V, X, L, C, D, M и т.д.

Позиционными называются системы счисления, в которых значение каждой цифры зависит от её места положения. Позиционная система характеризуется основой исчисления, под которой будет пониматься такое число £, которое показывает, сколько единиц какого-либо разряда необходимо для получения единица старшего порядка.

Например, можно записать

Что соответствует числам в десятичной системе счисления

Индекс снизу указывает на основу счисления.

Для перевода положительных чисел, из одной системы счисления в другую известны два правила:

Перевод чисел из системы , в систему;

Перевод чисел из системы , в системус использованием арифметики системы;

Рассмотрим первое правило . Допустим, число в десятичной системе необходимо представить в двоичной системе . Для этого данное число делится на основание системы представленное в системе , т.е. на 2 10 . Остаток от деления будет младшим разрядом двоичного числа. Целая часть результата от деления вновь делится на 2. Операцию деления повторять столько раз, пока частное не будет меньше двух.

Пример: 89 10 перевести в двоичное число, пользуясь арифметикой десятичной системы счисления

89 10 → 1011001 2

Обратный перевод, согласно того же правила, следующий:

1011001 2 перевести в десятичное число, пользуясь арифметикой двоичной системы счисления

Двоичные числа 1000 и 1001 согласно таблице 2.1 соответственно равны 8 и 9. Поэтому 1011001 2 → 89 10

Иногда обратный перевод удобнее осуществлять, пользуясь общим правилом представления числа в какой-либо системе исчисления.

Рассмотрим второе правило. Перевод чисел из системы , в системус использованием арифметики системы. Для осуществления перевода необходимо каждую цифру числа в системеумножить на основание системы счисленияпредставленной в системе счисленияи в степени позиции этого числа. После чего полученные произведения суммируются.

Арифметические и логические операции

Арифметические операции

Рассмотрим арифметику двоичной системы счисления, так как именно она используется в современных компьютерах по следующим причинам:

Существуют простейшие физические элементы, которые имеют только два состояния и которые можно интерпретировать как 0 и 1;

Арифметическая обработка очень проста.

Числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления обычно используется как средство замены длинного и поэтому неудобного представления двоичных чисел.

Операции сложения, вычитания и умножения в двоичной системе имеют вид:

Как уже было продемонстрировано ранее, чтобы обойтись только сумматором, то есть выполнять лишь операции сложения, операция вычитания заменена на сложение. Для этого код отрицательного числа формируется как дополнение до чисел 2, 10, 100 и т.д.

Сложение и вычитание

В системе с основанием для обозначения нуля и первых с-1 натуральных чисел служат цифры 0, 1, 2, ..., с - 1. Для выполнения операции сложения и вычитания составляется таблица сложения однозначных чисел.

Таблица 1 - Сложение в двоичной системе

Например, таблица сложения в шестеричной системе счисления:

Таблица 2 - Сложение в шестеричной системе

Сложение любых двух чисел, записанных в системе счисления с основанием с, производится так же, как в десятичной системе, по разрядам, начиная с первого разряда, с использованием таблицы сложения данной системы. Складываемые числа подписываются одно за другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли по вертикали. Результат сложения пишется под горизонтальной чертой, проведенной ниже слагаемых чисел. Так же как при сложении чисел в десятичной системе, в случае, когда сложение цифр в каком-либо разряде дает число двузначное, в результат пишется последняя цифра этого числа, а первая цифра прибавляется к результату сложения следующего разряда.

Например,

Можно обосновать указанное правило сложения чисел, используя представление чисел в виде:

Разберем один из примеров:

3547=3*72+5*71+4*70

2637=2*72+6*71+3*70

(3*72+5*71+4*70) + (2*72+6*71+3*70) =(3+2)*72+(5+6)*7+(3+4)=

5*72+1*72+4*7+7=6*72+4*7+7=6*72+5*7+0=6507

Последовательно выделяем слагаемые по степени основания 7, начиная с низшей, нулевой, степени.

Вычитание производится также по разрядам, начиная с низшего, причем если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из следующего разряда уменьшаемого "занимается" единица и из полученного двузначного числа вычитается соответствующая цифра вычитаемого; при вычитании цифр следующего разряда в этом случае нужно мысленно уменьшить цифру уменьшаемого на единицу, если же эта цифра оказалась нулем (и тогда уменьшение ее невозможно), то следует "занять" единицу из следующего разряда и затем произвести уменьшение на единицу. Специальной таблицы для вычитания составлять не нужно, так как таблица сложения дает результаты вычитания.

Например,

Умножение и деление

Для выполнения действий умножения и деления в системе с основанием с составляется таблица умножения однозначных чисел.

Таблица 3 - Умножение однозначных чисел

Таблица 4 - Умножение в шестеричной системе счисления

Умножение двух произвольных чисел в системе с основанием с производится так же, как в десятичной системе - "столбиком", то есть множимое умножается на цифру каждого разряда множителя (последовательно) с последующим сложением этих промежуточных результатов.

Например,

При умножении многозначных чисел в промежуточных результатах индекс основания не ставится:

Деление в системах с основанием с производится углом, так же, как в десятичной системе счисления. При этом используется таблица умножения и таблица сложения соответствующей системы. Сложнее дело обстоит, если результат деления не является конечной с-ичной дробью (или целым числом). Тогда при осуществлении операции деления обычно требуется выделить непериодическую часть дроби и ее период. Умение выполнять операцию деления в с-ичной системе счисления полезно при переводе дробных чисел из одной системы счисления в другую.

Например:

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Существует много различных способов перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Способ деления

Пусть дано число N=an an-1. . . a1 а0 р.

Для получения записи числа N в системе с основанием h следует представить его в виде:

N=bmhm+bm-1hm-1+... +b1h+b0 (1)

где 1

N=bmbm-1... b1boh (2)

Из (1) получаем:

N= (bmhm-1+...+b)*h +b0 = N1h+b0, где 0? b0 ?h (3)

To есть, цифра b0 является остатком от деления числа N на число h. Неполное частное Nl = bmhm-1+ . . . +b1 представим в виде:

Nl = (bmhm-2 + ... + b2)h + b1 = N2h+b1, где 0? b2 ?h (4)

Таким образом, цифра bi в записи (2) числа N является остатком от деления первого неполного частного N1 на основание h новой системы счисления. Второе неполное частное N2 представим в виде:

N2 = (bmhm-3+ ... +b3)h+b2, где 0? b2 ?h (5)

то есть цифра b2 является остатком от деления второго неполного частного N2 на основание h новой системы. Так как не полные частные убывают, то этот процесс конечен. И тогда мы получаем Nm = bm, где bm

Nm-1 = bmh+bm.1 = Nmh+bm.1

Таким образом, последовательность цифр bm, bm-1 . . ,b1,b0 в записи числа N в системе счисления с основанием h есть последовательность остатков последовательного деления числа N на основание h, взятая в обратной последовательности.

Рассмотрим пример: Выполнить перевод числа 123 в шестнадцатеричную систему счисления:

Таким образом, число 12310=7(11)16 либо можно записать как 7B16

Запишем число 340227 в пятеричной системе счисления:

Таким образом, получаем, что 340227=2333315

Примечание:
Выполнять действия можно только в одной системе счисления, если вам даны разные системы счисления, сначала переведите все числа в одну систему счисления
Если вы работаете с системой счисления, основание которой больше 10 и у вас в примере встретилась буква, мысленно замените её цифрой в десятичной системе, проведите необходимые операции и переведите результат обратно в исходную систему счисления

Сложение:
Все помнят, как в начальной школе нас учили складывать столбиком, разряд с разрядом. Если при сложении в разряде получалось число больше 9, мы вычитали из него 10, полученный результат записывали в ответ, а 1 прибавляли к следующему разряду. Из этого можно сформулировать правило:

1. Складывать удобнее «столбиком»
2. Складывая поразрядно, если цифра в разряде > больше самой большой цифры алфавита данной Системы счисления, вычитаем из этого числа основание системы счисления.
3. Полученный результат записываем в нужный разряд
4. Прибавляем единицу к следующему разряду

Сложить 1001001110 и 100111101 в двоичной системе счисления

Ответ: 1110001011

Сложить F3B и 5A в шестнадцатеричной системе счисления

Ответ: FE0

Вычитание:Все помнят, как в начальной школе нас учили вычитать столбиком, разряд из разряда. Если при вычитании в разряде получалось число меньше 0, мы то мы «занимали» единицу из старшего разряда и прибавляли к нужной цифре 10, из нового числа вычитали нужное. Из этого можно сформулировать правило:

1. Вычитать удобнее «столбиком»
2. Вычитая поразрядно, если цифра в разряде < 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Производим вычитание

Вычесть из 1001001110 число 100111101 в двоичной системе счисления

Ответ: D96

Самое главное, не забывайте про то, что у вас в распоряжении только цифры данной системы счисления, так же не забывайте про переходы между разрядными слагаемыми.
Умножение:

Умножение в других системах счисления происходит точно так же, как и мы привыкли умножать.

1. Умножать удобнее «столбиком»
2. Умножение в любой системе счисления происходит по тем же правилам, что и в десятичной. Но мы можем использовать только алфавит, данный системы счисления

Умножить 10111 на число 1101 в двоичной системе счисления

Ответ: 984E

Ответ: 984E

Деление:

Деление в других системах счисления происходит точно так же, как и мы привыкли делить.

1. Делить удобнее «столбиком»
2. Деление в любой системе счисления происходит по тем же правилам, что и в десятичной. Но мы можем использовать только алфавит, данный системы счисления

Пример:

Разделить 1011011 на число 1101 в двоичной системе счисления

Разделить F 3 B на число 8 в шестнадцатеричной системе счисления

Самое главное, не забывайте про то, что у вас в распоряжении только цифры данной системы счисления, так же не забывайте про переходы между разрядными слагаемыми.

НЕПОЗИЦИОННЫЕ

Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления появились исторически первыми. В этих системах значение каждого цифрового символа постоянно и не зависит от его положения. Простейшим случаем непозиционной системы является единичная, для которой для обозначения чисел используется единственный символ, как правило это черта, иногда точка, которых всегда ставится количество, соответствующее обозначаемому числу:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - |||, и т. д.

Таким образом, этот единственный символ имеет значение единицы , из которой последовательным сложением получается необходимое число:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Модификацией единичной системы является система с основанием, в которой есть символы не только для обозначения единицы, но и для степеней основания. Например, если за основание взято число 5, то будут дополнительные символы для обозначения 5, 25, 125 и так далее.

Примером такой системы с основанием 10 является древнеегипетская, возникшая во второй половине третьего тысячеления до новой эры. В этой системе имелись следующие иероглифы:

• шест - единицы,
• дуга - десятки,
• пальмовый лист - сотни,
• цветок лотоса - тысячи.

Числа получались простым сложением, порядок следования мог быть любым. Так, для обозначения, например, числа 3815, рисовали три цветка лотоса, восемь пальмовых листов, одну дугу и пять шестов. Более сложные системы с дополнительными знаками - старая греческая, римская. Римская также использует элемент позиционной системы - большая цифра, стоящая перед меньшей, прибавляется, меньшая перед большей - вычитается: IV = 4, но VI = 6, этот метод, правда, применяется исключительно для обозначения чисел 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000, и производных их сложением.

Новогреческая и древнерусская системы использовали в качестве цифр 27 букв алфавита, где ими обозначалось каждое число от 1 до 9, а также десятки и сотни. Такой подход обеспечил возможность записывать числа от 1 до 999 без повторений цифр.

В старорусской системе для обозначения больших чисел использовались специальные обрамления вокруг цифр.

В качестве словесной системы номерации до сих пор практически везде используется непозиционная. Словесные системы нумерации сильно привязаны в языку, и общие их элементы в основном относятся к общим принципам и названиям больших чисел (триллион и выше). Общие принципы, положенные в основу современных словесных нумераций вредполагают формирование обозначения посредством сложения и умножения значений уникальных названий.

Для работы с данными используется кодирование , т.е. выражение данных одного типа через данные другого типа.

Своя система существует и в вычислительной технике - она называется двоичным кодированием и основана на представлении данных последовательностью всего двух знаков: 0 и 1. Эти знаки называются двоичными цифрами, по английски - binarydigit или, сокращенно, bit (бит).

Одним битом могут быть выражены два понятия: 0 или 1 (да или нет, черное или белое, истина или ложь и т. п.). Если количество битов увеличить до двух, то уже можно выразить четыре различных понятия:

Тремя битами можно закодировать восемь различных значений: 000 001 010 011 100 101 110 111

Увеличивая на единицу количество разрядов в системе двоичного кодирования, мы увеличиваем в два раза количество значений, которое может быть выражено в данной системе, то есть общая формула имеет вид:

N=2 m , где:

N - количество независимых кодируемых значений;

т - разрядность двоичного кодирования, принятая в данной системе.

Поскольку бит - слишком мелкая единица измерения, на прак­тике чаще применяется более крупная единица - байт, равная восьми битам.

Используются также более крупные производные единицы данных:

Килобайт (Кбайт) = 1024 байт = 2 10 байт;

Мегабайт (Мбайт) = 1024 Кбайт = 2 20 байт;

Гигабайт (Гбайт) = 1024 Мбайт = 2 30 байт.

В последнее время в связи с увеличением объемов обрабатывае­мых данных входят в употребление такие производные едини­цы, как:

Терабайт (Тбайт) = 1024 Гбайт = 2 40 байт;

Петабайт (Пбайт) = 1024 Тбайт = 2 50 байт;

Экзабайт (Эбайт) = 1024 Пбайт = 2 60 байт.

Кодирование текстовой информации производится с помощью Американского стандартного кода для обмена информацией ASCII, в котором установлены коды символов от 0 до 127. Национальные стандарты отводят под символ 1 байт информации и включают таблицу кодов ASCII, а также коды национальных алфавитов с номерами от 128 до 255. В настоящее время существуют пять различных кодировок кириллицы: КОИ-8, MS-DOS, Windows, Macintosh и ISO. В конце 90-х годов появился новый международный стандарт Unicode, который отводит под каждый символ не один байт, а два байта, и поэтому с его помощью можно закодировать не , а различных символов.

Базовая таблица кодировки ASCII приведена в таблице.

Кодирование цветных графических изображений производится с помощью растра, где каждой точке сопоставлен ее номер цвета. В системе кодирования RGB цвет каждой точки представляется суммой красного (Red), зеленого (Green) и синего (Blue) цветов. В системе кодирования CMYK цвет каждой точки представляется суммой голубого (Cyan), пурпурного (Magenta), желтого (Yellow) и добавлением черного (Black, K) цветов.

Кодирование аналоговых сигналов

Исторически первой технологической формой получения, передачи и хранения данных являлось аналоговое (непрерывное) представление звукового, оптического, электрического или другого сигнала. Для приема таких сигналов в ЭВМ предварительно выполняют аналого-цифровое преобразование.

Аналого-цифровое преобразование заключается в измерении аналогового сигнала через равные промежутки времени τ и кодировании результата измерения n-разрядным двоичным словом. При этом получают последовательность n-разрядных двоичных слов, представляющих с заданной точностью аналоговый сигнал.

Принятый в настоящее время стандарт CD использует так на­зываемый «16-разрядный звук с частотой сканирования 44 кГц». Для приведенного рисунка в переводе на нормальный язык это означает, что «дли­на ступеньки» (т) равна 1/44000 с, а «высота ступеньки» (δ) состав­ляет 1/65 536 от максимальной громкости сигнала (поскольку 2 16 = 65 536). При этом частотный диапазон воспроизведения со­ставляет 0-22 кГц, а динамический диапазон - 96 децибел (что со­ставляет совершенно недостижимую для магнитной или механиче­ской звукозаписи характеристику качества).

Сжатие данных.

Объем обрабатываемых и передаваемых данных быстро растет. Это связано с выполнением все более сложных прикладных процессов, появлением новых информацион­ных служб, использованием изображений и звука.

Сжатие данных (datacompression) - процесс, обеспечивающий уменьшение объема данных. Сжатие позволяет резко уменьшить объем памяти, необходимый для хранения данных, сократить (до приемлемых размеров) время их передачи. Особенно эффективно сжатие изображений. Сжатие данных может осуществляться как программным, так и аппаратным или комбинированным методом.

Сжатие текстов связано с более компактным расположением байтов, кодирующих символы. Здесь также использу­ется счетчик повторений пробелов. Что же касается звука и изобра­жений, то объем представляющей их информации зависит от вы­бранного шага квантования и числа разрядов аналого-цифрового преобразования. В принципе, здесь используются те же методы сжа­тия, что и при обработке текстов. Если сжатие текстов происходит без потери информации, то сжатие звука и изображения почти все­гда приводит к ее некоторой потере. Сжатие широко используется при архивировании данных.

Система счисления – представление числа определенным набором символов. Системы счисления бывают:

1. Единичные (система бирок или палочек);

2. Непозиционные (римская);

3. Позиционные (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т.д.).

Позиционной называется система счисления, в которой количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр в данной системе.

Двоичная система счисления включает алфавит из двух цифр: 0 и 1.

Восьмеричная система счисления включает алфавит из 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.

Десятичная система счисления включает алфавит из 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Шестнадцатеричная система счисления включает алфавит из 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

В вычислительной технике используется кодирование в двоичной системе счисления, т.е. последовательностью 0 и 1.

Для перевода целого числа из одной системы счисления в другую надо выполнить следующий алгоритм:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа на основание новой системы счисления, пока не получится частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки перевести в новую систему счисления.

4. Составить число из остатков в новой системе счисления, начиная с последнего остатка.

В общем случае в позиционной СС с основанием Р любое число Х может быть представлено в виде полинома от основания Р:

Х = а n Р n + a n-1 P n-1 + … + a 1 P 1 + a o P 0 + a -1 P -1 + a -2 P -2 + …+ a -m P -m ,

где в качестве коэффициентов а i могут стоять любые из Р цифр, используемых в СС с основанием Р.

Перевод чисел из 10 СС в любую другую для целой и дробной части числа выполняется различными методами:

а) целая часть числа и промежуточные частные делятся на основание новой СС, выраженное в 10 СС до тех пор, пока частное от деления не станет меньше основания новой СС. Действия выполняются в 10 СС. Результат – частные, записанные в обратном порядке.

б) дробная часть числа и получающиеся затем дробные части промежуточных произведений умножаются на основание новой СС до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность, либо не будет получен «0» в дробной части промежуточного произведения. Результат – целые части промежуточных произведений, записанные в порядке их получения.

С помощью формулы (1) можно перевести числа из любой системы счисления в десятичную систему счисления.

Пример 1. Переводить число 1011101.001 из двоичной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

1 ·2 6 +0·2 5 +1 ·2 4 +1 ·2 3 +1 ·2 2 +0 ·2 1 +1 ·2 0 +0 ·2 -1 +0 ·2 -2 +1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Пример 2. Переводить число 1011101.001 из восьмеричной системы счисления (СС) в десятичную СС. Решение:

Пример 3 . Переводить число AB572.CDF из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную СС. Решение:

Здесь A -заменен на 10, B - на 11, C - на 12, F - на 15.

Перевод 8 (16) числа в 2 форму – достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим 3-х разрядным (4-х разрядным) двоичным числом. Ненужные нули в старших и младших разрядах отбросить.

Пример 1: перевести число 305,4 8 в двоичную СС.

(_3_ _0 _ _5 _ , _4 _) 8 = 011000101,100 = 11000101,1 2

Пример 2: перевести число 9АF,7 16 в двоичную СС.

(_9 __ _A __ _F __ , _7 __) 16 = 100110101111,0111 2

1001 1010 1111 0111

Для перевода 2-го числа в 8 (16) СС поступают следующим образом: двигаясь от запятой влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по 3 (4) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем каждую группу заменяют соответствующей восьмеричной (16) цифрой.

Пример 1: перевести число 110100011110100111,1001101 2 в восьмеричную СС.

110 100 011 110 100 111,100 110 100 2 = 643647,464 8

Пример 2: перевести число 110100011110100111,1001101 2 в шестнадцатеричную СС.

0011 0100 0111 1010 0111,1001 1010 2 = 347А7,9А 16

Арифметические операции во всех позиционных системах счисления выполняются по одним и тем же хорошо известным вам правилам.

Сложение. Рассмотрим сложение чисел в двоичной системе счисления. В его основе лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие. В качестве примера сложим в столбик двоичные числа 110 2 и 11 2:

Вычитание. Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой:

Умножение. В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

Деление. Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления. В качестве примера произведем деление двоичного числа 110 2 на 11 2:

Для проведения арифметических операций над числами, выраженными в различных системах счисления, необходимо предварительно перевести их в одну и ту же систему.