Используются для сравнения нескольких величин. Диаграмма – это средство наглядного графического изображения информации, предназначенное для сравнения нескольких величин или нескольких значений одной

В предыдущих заметках были описаны процедуры проверки гипотез о числовых и категорийных данных: , несколько , а также , позволяющего изучать один или . В настоящей заметке мы рассмотрим методы проверки гипотез о различиях между долями признака в генеральных совокупностях на основе нескольких независимых выборок.

Для иллюстрации применяемых методов используется сценарий, в котором оценивается степень удовлетворенности постояльцев отелей, принадлежащих компании Т. С. Resort Properties. Представьте себе, что вы - менеджер компании, владеющей пятью отелями, расположенными на двух курортных островах. Если гости удовлетворены обслуживанием, велика вероятность, что они вернутся на следующий год и порекомендуют своим друзьям остановиться именно в вашем отеле. Чтобы оценить качество обслуживания, постояльцев просят заполнить анкету и указать, довольны ли они гостеприимством. Вам необходимо проанализировать данные опроса, определить общую степень удовлетворенности запросов постояльцев, оценить вероятность того, что гости приедут вновь в следующем году, а также установить причины возможного недовольства некоторых клиентов. Например, на одном из островов компании принадлежат отели Beachcomber и Windsurfer. Одинаково ли обслуживание в этих отелях? Если нет, как эту информацию можно использовать для улучшения качества работы компании? Более того, если некоторые постояльцы заявили, что больше к вам не приедут, какие причины они указывают чаще других? Можно ли утверждать, что эти причины касаются лишь конкретной гостиницы и не относятся ко всей компании в целом?

Здесь использованы следующие обозначения: X 1 - количество успехов в первой группе, X 2 - количество успехов во второй группе, n 1 – X 1 - количество неудач в первой группе, n 2 – X 2 - количество неудач во второй группе, X = X 1 + X 2 - общее количество успехов, n – X = (n 1 – X 1 ) + (n 2 – X 2 ) - общее количество неудач, n 1 - объем первой выборки, n 2 - объем второй выборки, n = n 1 + n 2 - суммарный объем выборок. Представленная таблица имеет две строки и два столбца, поэтому она называется факторной таблицей 2×2. Ячейки, образованные пересечением каждой строки и столбца, содержат количество успехов или неудач.

Проиллюстрируем применение таблицы сопряженности признаков на примере сценария, описанного выше. Предположим, что на вопрос «Вернетесь ли вы в следующем году?» утвердительно ответили 163 из 227 постояльцев отеля Beachcomber, и 154 из 262 постояльцев отеля Windsurfer. Существует ли статистически значимая разность между степенью удовлетворенности постояльцев отелей (представляющая собой вероятность того, что постояльцы вернутся в следующем году), если уровень значимости равен 0,05?

Рис. 2. Факторная таблица 2х2 для оценки качества обслуживания постояльцев

В первой строке указывается количество постояльцев каждого отеля, заявивших о своем желании вернуться в следующем году (успех); во второй строке – количество постояльцев, выразивших недовольство (неудача). Ячейки, расположенные в столбце «Итого», содержат общее количество гостей, планирующих вернуться в отель в следующем году, а также общее количество гостей, недовольных обслуживанием. Ячейки, расположенные в строке «Всего», содержат общее количество опрошенных постояльцев каждого отеля. Доля постояльцев, планирующих вернуться, вычисляется путем деления количества постояльцев, заявивших об этом, на общее количество опрошенных гостей данного отеля. Затем для сравнения вычисленных долей применяется χ 2 -критерий.

Чтобы проверить нулевую и альтернативные гипотезы Н 0: р 1 = р 2 ; Н 1: р 1 ≠ р 2 используем тестовую χ 2 -статистику.

Критерий «хи-квадрат» для сравнения двух долей. Тестовая χ 2 -статистика равна сумме квадратов разностей между наблюдаемым и ожидаемым количеством успехов, деленных на ожидаемое количество успехов в каждой ячейке таблицы:

где f 0 - наблюдаемое количество успехов или неудач в конкретной ячейке таблицы сопряженности признаков, f e

Тестовая χ 2 -статистика аппроксимируется χ 2 -распределением с одной степенью свободы.

Или неудач в каждой ячейке таблицы сопряженности признаков, необходимо понимать их смысл. Если нулевая гипотеза является истинной, т.е. доли успехов в двух генеральных совокупностях равны, выборочные доли, вычисленные для каждой из двух групп, могут отличаться друг от друга лишь по случайным причинам, причем обе доли являются оценкой общего параметра генеральной совокупности р . В этой ситуации статистика, объединяющая обе доли в одной общей (средней) оценке параметра р , представляет собой общую долю успехов в объединенных группах (т.е. равна общему количеству успехов, деленному на суммарный объем выборок). Ее дополнение, 1 – , представляет собой общую долю неудач в объединенных группах. Используя обозначения, смысл которых описан в таблице на рис. 1. можно вывести формулу (2) для вычисления параметра :

где – средняя доля признака.

Чтобы вычислить ожидаемое количество успехов f e (т.е. содержимое первой строки таблицы сопряженности признаков), необходимо умножить объем выборки на параметр . Чтобы вычислить ожидаемое количество неудач f e (т.е. содержимое второй строки таблицы сопряженности признаков), необходимо умножить объем выборки на параметр 1 – .

Тестовая статистика, вычисленная по формуле (1), аппроксимируется χ 2 -распределением с одной степенью свободы. При заданном уровне значимости α нулевая гипотеза отклоняется, если вычисленная χ 2 -статистика больше χ U 2 , верхнего критического значения χ 2 -распределения с одной степенью свободы. Таким образом, решающее правило выглядит следующим образом: гипотеза H 0 отклоняется, если χ 2 > χ U 2 , в противном случае гипотеза Н 0 не отклоняется (рис. 3).

Рис. 3. Критическая область χ 2 -критерия для сравнения долей при уровне значимости α

Если нулевая гипотеза является истинной, вычисленная χ 2 -статистика близка к нулю, поскольку квадрат разности между наблюдаемой f 0 и ожидаемой f е величинами в каждой ячейке очень мал. С другой стороны, если нулевая гипотеза Н 0 является ложной и между долями успехов в генеральных совокупностях существует значимая разница, вычисленная χ 2 -статистика должна быть большой. Это объясняется разностью между наблюдаемым и ожидаемым количеством успехов или неудач в каждой ячейке, которая увеличивается при возведении в квадрат. Однако вклады разностей между ожидаемыми и наблюдаемыми величинами в общую χ 2 -статистику могут быть неодинаковыми. Одна и та же фактическая разность между f 0 и f e может оказать большее влияние на χ 2 -статистику, если в ячейке содержатся результаты небольшого количества наблюдений, чем разность, соответствующая большему количеству наблюдений.

Для того чтобы проиллюстрировать χ 2 -критерий для проверки гипотезы о равенстве двух долей, вернемся к сценарию, описанному в ранее, результаты которого приведены на рис. 2. Нулевая гипотеза (Н 0: р 1 = р 2) утверждает, что при сравнении качества обслуживания в двух отелях доли постояльцев, планирующих вернуться в следующем году, практически одинаковы. Для оценки параметра р , представляющего собой долю гостей, планирующих вернуться в отель, если нулевая гипотеза является истинной, используется величина , которая вычисляется по формуле

Доля гостей, оставшихся недовольными обслуживанием = 1 – 0,6483 = 0,3517. Умножая эти две доли на количество опрошенных постояльцев отеля Beachcomber, получаем ожидаемое количество гостей, планирующих вернуться в следующем сезоне, а также число отдыхающих, которые больше не остановятся в этом отеле. Аналогично вычисляются ожидаемые доли постояльцев отеля Windsurfer:

Да - Beachcomber: = 0,6483, n 1 = 227, следовательно, f e = 147,16.
Да - Windsurfer: = 0,6483, n 2 = 262, следовательно, f e = 169,84.
Нет - Beachcomber: 1 – = 0,3517, n 1 = 227, следовательно, f e = 79,84.
Нет - Windsurfer: 1 – = 0,3517, n 2 = 262, следовательно, f e = 92,16.

Расчеты представлены на рис. 4.

Рис. 4. χ 2 -статистика для отелей: (а) исходные данные; (б) факторная таблица 2х2 для сравнения наблюдаемого (f 0 ) и ожидаемого (f e ) количества постояльцев, удовлетворенных и не удовлетворенных обслуживанием; (в) вычисление χ 2 -статистики при сравнении доли постояльцев, удовлетворенных обслуживанием; (г) расчет критического значения тестовой χ 2 -статистики

Для расчета критического значения тестовой χ 2 -статистики применяется функция Excel =ХИ2.ОБР(). Если уровень значимости α = 0,05 (вероятность, подставляемая в функцию ХИ2.ОБР есть 1 –α), а χ 2 -распределение для факторной таблицы 2×2 имеет одну степень свободы, критическое значение χ 2 -статистики равно 3,841. Поскольку вычисленное значение χ 2 -статистики, равное 9,053 (рис. 4в), превышает число 3,841, нулевая гипотеза отклоняется (рис. 5).

Рис. 5. Определение критического значения тестовой χ 2 -статистики с одной степенью свободы при уровне значимости α = 0,05

Вероятность р того, что нулевая гипотеза верна при χ 2 -статистикие равной 9,053 (и одной степени свободы) рассчитывается в Excel с помощью функции =1 – ХИ2.РАСП(9,053;1;ИСТИНА) = 0,0026. р -значение, равное 0,0026, - это вероятность того, что разность между выборочными долями постояльцев, удовлетворенных обслуживанием в отелях Beachcomber и Windsurfer, равна или больше 0,718 – 0,588 = 0,13, если на самом деле их доли в обеих генеральных совокупностях одинаковы. Таким образом, существуют веские основания утверждать, что между двумя отелями есть статистически значимая разница в обслуживании постояльцев. Исследования показывают, что количество гостей, удовлетворенных обслуживанием в отеле Beachcomber, больше количества постояльцев, планирующих снова остановиться в гостинице Windsurfer.

Проверка предположений, касающихся факторной таблицы 2×2. Для получения точных результатов на основе данных, приведенных в таблице 2×2, необходимо, чтобы количество успехов или неудач превышало число 5. Если это условие не выполняется, следует применять точный критерий Фишера .

При сравнении процента клиентов, удовлетворенных качеством обслуживания в двух отелях, критерии Z и χ 2 приводят к одинаковым результатам. Это можно объяснить существованием тесной связи между стандартизованным нормальным распределением и χ 2 -распределением с одной степенью свободы. В этом случае χ 2 -статистика всегда является квадратом Z-статистики. Например, при оценке степени удовлетворенности гостей мы обнаружили, что Z -статистика равна +3,01, а χ 2 -статистика - 9,05. Пренебрегая ошибками округления, легко убедиться, что вторая величина является квадратом первой (т.е. 3,01 2 = 9,05). Кроме того, сравнивая критические значения обеих статистик при уровне значимости α = 0,05, можно обнаружить, что величина χ 1 2 равная 3,841, является квадратом верхнего критического значения Z-статистики, равного +1,96 (т.е. χ 1 2 = Z 2). Более того, р -значения обоих критериев одинаковы.

Таким образом, можно утверждать, что при проверке нулевой и альтернативной гипотез Н 0: р 1 = р 2 ; Н 1: р 1 ≠ р 2 критерии Z и χ 2 являются эквивалентными. Однако, если необходимо не просто обнаружить различия, но и определить, какая доля больше (р 1 > р 2), следует применять Z-критерий с одной критической областью, ограниченной хвостом стандартизованного нормального распределения. Далее будет описано применение критерия χ 2 для сравнения долей признака в нескольких группах. Необходимо отметить, что Z-критерий в этой ситуации применять невозможно.

Применение χ 2 -критерия для проверки гипотезы о равенстве нескольких долей

Критерий «хи-квадрат» можно распространить на более общий случай и применять для проверки гипотезы о равенстве нескольких долей признака. Обозначим количество анализируемых независимых генеральных совокупностей буквой с . Теперь таблица сопряженности признаков состоит из двух строк и с столбцов. Чтобы проверить нулевую и альтернативные гипотезы Н 0: р 1 = р 2 = … = р 2 , Н 1: не все р j равны между собой (j = 1, 2, …, c ), используется тестовая χ 2 -статистика:

где f 0 - наблюдаемое количество успехов или неудач в конкретной ячейке факторной таблицы 2*с , f e - теоретическое, или ожидаемое, количество успехов или неудач в конкретной ячейке таблицы сопряженности признаков при условии, что нулевая гипотеза является истинной.

Чтобы вычислить ожидаемое количество успехов или неудач в каждой ячейке таблицы сопряженности признаков, необходимо иметь в виду следующее. Если нулевая гипотеза является истинной и доли успехов во всех с генеральных совокупностях равны, соответствующие выборочные доли могут отличаться друг от друга лишь по случайным причинам, поскольку все доли представляют собой оценки доли признака р в общей генеральной совокупности. В этой ситуации статистика, объединяющая все доли в одной общей (или средней) оценке параметра р , содержит больше информации, чем каждая из них в отдельности. Эта статистика, обозначаемая символом , представляет собой общую (или среднюю) долю успехов в объединенной выборке.

Вычисление средней доли:

Чтобы вычислить ожидаемое количество успехов f e в первой строке таблицы сопряженности признаков, необходимо умножить объем каждой выборки на параметр . Чтобы вычислить ожидаемое количество неудач f e во второй строке таблицы сопряженности признаков, необходимо умножить объем каждой выборки на параметр 1 – . Тестовая статистика, вычисленная по формуле (1), аппроксимируется χ 2 -распределением. Количество степеней свободы этого распределения задается величиной (r – 1)(c – 1) , где r - количество строк в факторной таблице, с - количество столбцов в таблице. Для факторной таблицы 2*с количество степеней свободы равно (2 – 1)(с – 1) = с – 1 . При заданном уровне значимости α нулевая гипотеза отклоняется, если вычисленная χ 2 -статистика больше верхнего критического значения χ U 2 , присущего χ 2 -распределению с с – 1 степенями свободы. Таким образом, решающее правило выглядит следующим образом: гипотеза Н 0 отклоняется, если χ 2 > χ U 2 (рис. 6), в противном случае гипотеза отклоняется.

Рис. 6. Критическая область χ 2 -критерия для сравнения с долей при уровне значимости α

Проверка предположений, касающихся факторной таблицы 2*с. Для получения точных результатов на основе данных, приведенных в факторной таблице 2*с , необходимо, чтобы количество успехов или неудач было достаточно большим. Некоторые статистики полагают, что критерий дает точные результаты, если ожидаемые частоты превышают 0,5. Более консервативные исследователи требуют, чтобы не более 20% ячеек таблицы сопряженности признаков содержали ожидаемые величины, которые меньше 5, причем ни одна ячейка не должна содержать ожидаемую величину меньше единицы. Последнее условие нам представляется разумным компромиссом между этими крайностями. Чтобы удовлетворить это условие, категории, содержащие небольшие ожидаемые величины, следует объединить в одну. После этого критерий становится более точным. Если по каким-либо причинам объединение нескольких категорий невозможно, следует применять альтернативные процедуры.

Для того чтобы проиллюстрировать χ 2 -критерий для проверки гипотезы о равенстве долей в нескольких группах, вернемся к сценарию, описанному в начале главы. Рассмотрим аналогичный опрос, в котором принимают участие постояльцы трех отелей, принадлежащих компании Т. С. Resort Resources (рис. 7а).

Рис. 7. Факторная таблица 2×3 для сравнения количества постояльцев, удовлетворенных и не удовлетворенных обслуживанием: (а) наблюдаемое количество успехов или неудач – f 0 ; (б) ожидаемое количество успехов или неудач – f e ; (в) вычисление χ 2 -статистики при сравнении долей постояльцев, удовлетворенных обслуживанием

Нулевая гипотеза утверждает, что доли клиентов, планирующих вернуться в следующем году, во всех отелях практически одинаковы. Для оценки параметра р , представляющего собой долю гостей, планирующих вернуться в отель, используется величина р̅ = Х / n = 513 / 700 = 0,733. Доля гостей, оставшихся недовольными обслуживанием, равна 1 – 0,733 = 0,267. Умножая три доли на количество опрошенных постояльцев в каждом из отелей, получаем ожидаемое количество гостей, планирующих вернуться в следующем сезоне, а также число клиентов, которые больше не остановятся в этом отеле (рис. 7б).

Чтобы проверить нулевую и альтернативные гипотезы используют тестовую χ 2 -статистику, вычисленную с помощью ожидаемых и наблюдаемых величин по формуле (1) (рис. 7в).

Критическое значение тестовой χ 2 -статистики определяется по формуле =ХИ2.ОБР(). Поскольку в опросе принимают участие постояльцы трех отелей, χ 2 -статистика имеет (2 – 1)(3 – 1) = 2 степени свободы. При уровне значимости α = 0,05 критическое значение χ 2 -статистики равно 5,991 (рис. 7г). Так как вычисленная χ 2 -статистика, равная 40,236, превышает критическое значение, нулевая гипотеза отклоняется (рис. 8). С другой стороны, вероятность р того, что нулевая гипотеза верна при χ 2 -статистикие равной 40,236 (и двух степенях свободы) рассчитывается в Excel с помощью функции =1-ХИ2.РАСП() = 0,000 (рис. 7г). р -значение равно 0,000 и меньше уровня значимости α = 0,05. Следовательно, нулевая гипотеза отклоняется.

Рис. 8. Области принятия и отклонения гипотезы о равенстве трех долей при уровне значимости, равном 0,05, и двух степенях свободы

Отклоняя нулевую гипотезу при сравнении долей, указанных в факторной таблице 2*с , мы можем утверждать лишь, что доли постояльцев, удовлетворенных обслуживанием в трех отелях, не совпадают. Для того чтобы выяснить, какие доли отличаются от других, необходимо применять иные методы, например процедуру Мараскуило.

Процедура Мараскуило позволяет сравнивать все группы попарно. На первом этапе процедуры вычисляются разности p s j – p s j ’ (где j ≠ j ’ ) между с(с – 1)/2 парами долей. Соответствующие критические размахи вычисляются по формуле:

При общем уровне значимости α, величина представляет собой квадратный корень из верхнего критического значения распределения «хи-квадрат», имеющего с – 1 степеней свободы. Для каждой пары выборочных долей необходимо вычислить отдельный критический размах. На последнем этапе каждая из с(с – 1)/2 пар долей сравнивается с соответствующим критическим размахом. Доли, образующие конкретную пару, считаются статистически значимо разными, если абсолютная разность выборочных долей |p s j – p s j | превышает критический размах.

Проиллюстрируем процедуру Мараскуило на примере опроса постояльцев трех отелей (рис 9а). Применяя критерий «хи-квадрат», мы убедились, что между долями постояльцев разных отелей, собирающихся вернуться в следующем году, существует статистически значимая разница. Поскольку в опросе участвуют постояльцы трех отелей, необходимо выполнить 3(3 – 1)/2 = 3 попарных сравнений и вычислить три критических размаха. Для начала вычислим три выборочных доли (рис. 9б). При общем уровне значимости, равном 0,05, верхнее критическое значение тестовой χ 2 -статистики для распределения «хи-квадрат», имеющего (с – 1) = 2 степени свободы определяется по формуле =ХИ2.ОБР(0,95;2) = 5,991. Итак, = 2,448 (рис. 9в). Далее, вычислим три пары абсолютных разностей и соответствующие критические размахи. Если абсолютная разность больше ее критического размаха, то соответствующие доли считаются значимо разными (рис. 9г).

Рис. 9. Результаты выполнения процедуры Мараскуило для проверки гипотезы о равенстве долей удовлетворенных постояльцев трех отелей: (а) данные опроса; (б) выборочных доли; (в) верхнее критическое значение тестовой χ 2 -статистики для распределения «хи-квадрат»; (г) три пары абсолютных разностей и соответствующие критические размахи

Как видим, при уровне значимости, равном 0,05, степень удовлетворенности постояльцев отеля Palm Royal (p s2 = 0,858) выше, чем у постояльцев отелей Golden Palm (p s1 = 0,593) и Palm Princess (p s3 =0,738). Кроме того, степень удовлетворенности постояльцев отеля Palm Princess выше, чем у постояльцев отеля Golden Palm. Эти результаты должны заставить руководство проанализировать причины таких различий и попытаться определить, почему степень удовлетворенности постояльцев отеля Golden Palm значительно ниже, чем у постояльцев других отелей.

Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 708–730

С самых давних пор людей серьезно интересовал вопрос о том, как удобнее всего сравнить величины, выраженные в разных значениях. И дело здесь не только в природной любознательности. Человек древнейших земных цивилизаций придавал этому довольно непростому делу сугубо прикладное значение. Корректно измерить землю, определить вес продукта на рынке, рассчитать необходимое соотношение товаров при бартере, определить верную норму винограда при заготовке вина - вот лишь малая толика задач, которые часто всплывали в и без того нелёгкой жизни наших предков. Поэтому малообразованные и неграмотные люди при необходимости сравнить величины шли за советом к своим более опытным товарищам, а те нередко брали за такую услугу соответствующую мзду, и довольно неплохую, кстати.

Что можно сравнивать

В наше время этому занятию также отводится немалая роль в процессе изучения точных наук. Всем, конечно, известно, что сравнивать необходимо однородные величины, то есть яблоки - с яблоками, а свеклу - со свеклой. Никому и в голову не придет попробовать выразить градусы Цельсия в километрах или килограммы в децибелах, зато длину удава в попугаях мы знаем с самого детства (для тех, кто не помнит: в одном удаве - 38 попугаев). Хотя попугаи тоже бывают разные, и на самом деле длина удава будет различаться в зависимости от подвида попугая, но это уже детали, в которых мы и попробуем разобраться.

Размерности

Когда в задании указано: "Сравни значения величин", необходимо эти самые величины привести к одному знаменателю, то есть выразить в одних и тех же значениях для удобства сравнения. Понятное дело, что сравнить значение, выраженное в килограммах, со значением, выраженным в центнерах или в тоннах, для многих из нас не составит особого труда. Однако существуют однородные величины, выразить которые можно в разных размерностях и, более того, в разных системах измерения. Попробуйте, например, сравнить величины кинематической вязкости и определить, какая из жидкостей является более вязкой в сантистоксах и квадратных метрах в секунду. Не получается? И не получится. Для этого нужно оба значения отразить в одних и тех же величинах, а уже по числовому значению определить, какое из них превосходит соперника.

Система измерения

Для того чтобы понять, какие величины можно сравнивать, попытаемся вспомнить существующие системы измерения. Для оптимизации и ускорения расчетных процессов в 1875 году семнадцатью странами (в том числе Россией, США, Германией и др.) была подписана метрическая конвенция и определена метрическая система мер. Для разработки и закрепления эталонов метра и килограмма был основан Международный комитет мер и весов, а в Париже обустроено Международное бюро мер и весов. Эта система со временем эволюционировала в Международную систему единиц, СИ. В настоящее время эта система принята большинством стран в области технических расчетов, в том числе и теми странами, где традиционно в повседневной жизни используются национальные (например, США и Англия).

СГС

Однако параллельно с общепринятым стандартом эталонов развивалась и другая, менее удобная система СГС (сантиметр-грамм-секунда). Она была предложена в 1832 году немецким физиком Гауссом, а в 1874 году модернизирована Максвеллом и Томпсоном, в основном в области электродинамики. В 1889 году была предложена более удобная система МКС (метр-килограмм-секунда). Сравнение предметов по величине эталонных значений метра и килограмма для инженеров гораздо более удобно, нежели использование их производных (санти-, милли-, деци- и др.). Однако данная концепция также не нашла массовый отклик в сердцах тех, для кого она предназначалась. Во всём мире активно развивалась и использовалась поэтому расчеты в СГС проводили всё реже, а после 1960 года, с введением системы СИ, СГС и вовсе практически вышла из употребления. В настоящее время СГС реально применяют на практике лишь при расчетах в теоретической механике и астрофизике, и то из-за более простого вида записи законов электромагнетизма.

Пошаговая инструкция

Разберём подробно пример. Допустим, задача звучит так: "Сравните величины 25 т и 19570 кг. Какая из величин больше?" Что нужно сделать перво-наперво, это определить, в каких величинах у нас заданы значения. Итак, первая величина у нас задана в тоннах, а вторая - в килограммах. На втором шаге мы проверяем, не пытаются ли нас ввести в заблуждение составители задачи, пытаясь заставить сравнивать разнородные величины. Бывают и такие задания-ловушки, особенно в быстрых тестах, где на ответ к каждому вопросу дается 20-30 секунд. Как мы видим, значения однородны: и в килограммах, и в тоннах у нас измеряется масса и вес тела, поэтому вторая проверка пройдена с положительным результатом. Третий шаг, переводим килограммы в тонны или, наоборот, тонны - в килограммы для удобства сравнения. В первом варианте получается 25 и 19,57 тонн, а во втором: 25 000 и 19 570 килограмм. И вот теперь можно со спокойной душой сравнить величины этих значений. Как наглядно видно, первое значение (25 т) в обоих случаях больше, чем второе (19 570 кг).

Ловушки

Как уже упоминалось выше, современные тесты содержат очень много заданий-обманок. Это необязательно разобранные нами задачи, ловушкой может оказаться довольно безобидный с виду вопрос, особенно такой, где напрашивается вполне логичный ответ. Однако коварство, как правило, кроется в деталях или в маленьком нюансе, которые составители задания пытаются всячески замаскировать. Например, вместо уже знакомого вам по разобранным задачам с постановкой вопроса: "Сравни величины там, где это возможно" - составители теста могут просто попросить вас сравнить указанные величины, а сами величины выбрать поразительно похожие друг на друга. Например, кг*м/с 2 и м/с 2 . В первом случае это сила, действующая на объект (ньютоны), а во втором - ускорение тела, или м/с 2 и м/с, где вас просят сравнить ускорение со скоростью тела, то есть абсолютно разнородные величины.

Сложные сравнения

Однако очень часто в заданиях приводят два значения, выраженные не только в разных единицах измерения и в разных системах исчисления, но и отличные друг от друга по специфике физического смысла. Например, в постановке задачи сказано: "Сравни значения величин динамической и кинематической вязкостей и определи, какая жидкость более вязкая". При этом значения указаны в единицах СИ, то есть в м 2 /с, а динамической - в СГС, то есть в пуазах. Как поступить в этом случае?

Для решения таких задач можно воспользоваться представленной выше инструкцией с небольшим её дополнением. Определяемся, в какой из систем будем работать: пусть это будет общепринятая среди инженеров. Вторым шагом мы также проверяем, а не ловушка ли это? Но в данном примере тоже всё чисто. Мы сравниваем две жидкости по параметру внутреннего трения (вязкости), поэтому обе величины однородны. Третьим шагом переводим из пуазов в паскаль-секунду, то есть в общепринятые единицы системы СИ. Далее переводим кинематическую вязкость в динамическую, умножая её на соответствующее значение плотности жидкости (табличное значение), и сравниваем полученные результаты.

Вне системы

Существуют также внесистемные единицы измерения, то есть единицы, не вошедшие в СИ, но согласно результатам решений созыва Генеральных конференций по мерам и весам (ГКВМ), допустимые для совместного использования с СИ. Сравнивать такие величины между собой можно только при их приведении к общему виду в стандарте СИ. К внесистемным относятся такие единицы, как минута, час, сутки, литр, электрон-вольт, узел, гектар, бар, ангстрем и многие другие.

Ознакомление с величиной является одной из задач сенсорного и умственного воспитания детей дошкольного возраста.

В процессе повседневной жизни, вне специального обучения дети не овладевают общепринятыми способами измерения , они лишь с большей или меньшей степенью успешности пытаются копи­ровать внешние действия взрослых, зачастую не вникая в их зна­чение и содержание.

Исходя из особенностей детских представлений о величине предметов, педагогическая работа строится в определенной после­довательности.

Вначале формируетсяпредставление о величине как прост­ранственном признаке предмета. Детей учат выделять данный признак наряду с другими, пользуясь специальными приемами об­следования : приложением и наложением .

Практически сравнивая (соизмеряя) контрастные и одинаковые по величине предметы, малыши устанавливают отношения «равенства - неравенства».

СРАВНЕНИЕМ называется операция установления сходства и различия между предметами и явлениями реального мира.

Ре­зультаты сравнения отражаются в речи с помощью прилагатель­ных: длиннее, короче, одинаковые (равные по длине), шире, уже, одинаковые (равные по ширине), выше, ниже, одинаковые (рав­ные по высоте), больше, меньше, одинаковые (равные по величи­не) и т. д. Таким образом, первоначально предусматривается лишь попарное сравнение предметов по одному признаку.

На этой основе продолжается дальнейшая работа , в процессе которой детей учат при сравнении нескольких предметов одним из них пользоватьсякак образцом.

Практические приемы приложе­ния и наложения применяются для составления упорядоченного (сериационного) ряда. Затем дети учатся создавать его по правилу . Располагая предметы (3-5 штук) в возрастающем или убывающем порядке по длине, ширине, высоте и другим признакам, они отражают это в речи: самая широкая, уже, еще уже, самая узкая и др.

Задача последующей работы - закрепить умение строить сериационный ряд предметов по длине, ширине, высоте и другим признакам, правильно отражая это в речи, развивать глазомер детей, учить на глаз определять размеры различных предметов, сопоставляя их с величиной известных предметов, а также пользуясь условной меркой.

Таким образом,

- в младшем и среднем дошкольном возрасте дети определяют размеры предметов путем непосредственного их сравнения (приложения или наложения);

В старшем - применяет­ся и опосредованный способ сравнения (оценка размеров воспри­нимаемых предметов в сравнении с хорошо известными, встречаю­щимися в опыте ребенка ранее, измерение условной меркой).

ИЗМЕРЕНИЕ включает в себя две логические операции :

Первая - это процесс разделения , который позволяет ребенку понять, что целое можно раздробить на части;

Вторая - это операция замещения , состоящая в соединении отдельных частей.

Сущность измерения состоит в количественном дроблении измеряемых объектов и установлении величины данного объекта по отношению к принятой мере. Посредством операции измерения устанавливается численное отношение между измеряемой величиной и заранее выбранной единицей измерения, масштабом или эталоном.

Деятельность измерения довольно сложна. Она требует специфических умений, знакомства с системой мер, применения измерительных приборов. Использование условных мер делает доступным измерение детям . Термин «измерение условными мерками» означает возможность использовать средства измерения.

В детском саду ребята овладевают несколькими видами ИЗМЕРЕНИЯ УСЛОВНОЙ МЕРКОЙ .

К первому виду следует отнести линейное измерение , когда дети с помощью полоски бумаги, палочек, веревок, шагов и других условных мерок учатся измерять длину, ширину, высоту различных предметов.

Второй вид измерения - определение с помощью условной мерки объема сыпучих веществ : дети учатся кружкой, стаканом, ложкой и другими емкостями вымерять количество крупы, сахарного песка в пакете.

Третий вид - это измерение условной меркой жидкостей, чтобы узнать, сколько стаканов воды в графине и т. п.

Применение мерок придает точность устанавливаемым в процессе измерения отношениям «равенство - неравенство», «часть - целое», позволяет полнее и глубже выявить их свойства.

Таким образом, в дошкольном образовательном учреждении измерительная деятельность носит элементарный, пропедевтический характер. Ребенок вначале учится измерять объекты условными мерками, и лишь в результате этого создаются предпосылки для овладения «настоящим» измерением.

Ориентировка детей в величине предметов во многом определяется ГЛАЗОМЕРОМ - важнейшей сенсорной способностью. Развитие глазомера непосредственно связано с овладением специальными способами сравнения предметов. Вначале сравнение предметов по длине, ширине, высоте детьми проводится практическим путем наложения и приложения, а затем на основе измерения. Глаз как бы обобщает практические действия руки.

В средней группе большое внимание уделяется развитию глазомера . Детям дают «задания найти из четырех-пяти предметов равный по своим размерам образцу или большего, меньшего размера (найди такой же длины, найди длиннее, короче и т. д.). Чтобы осуществить все задания, предусмотренные программой средней группы, надо провести не менее 10-12 занятий.

Знания и умения, полученные на таких занятиях, необходимо систематически закреплять и применять в других видах деятельности :

· сравнивать размеры разных частей растений,

· подбирать полоски нужных размеров для ремонта книг,

· рисовать, лепить предметы соответствующих размеров,

· наблюдать, как изме­няются размеры строящегося дома, и т.д.

Большое внимание уделяют развитию у детей глазомера. На основе овладения приемами непосредственного сопоставления размера предметов (наложение, приложение, измерение при помощи мерки) дети учатся решать задачи, требующие все более и более, сложных глазомерных действий.

Старшие дошкольники выполняют более сложные, чем в средней группе, задания на развитие глазомера :

· найти на глаз предметы большего или меньшего размера, чем образец;

· подобрать два предмета, чтобы вместе они были равны образцу и др.

Постепенно расширяют и площадь, на которой осуществляется поиск предметов нужного размера.

В качестве образца могут служить разные предметы. В то же время один и тот же образец может использоваться для сравнения предметов и по длине, и по ширине, и т. д. Каждый раз дети проверяют правильность решения глазомерной задачи, пользуясь приемом приложения (вплотную) или измерения меркой. Аналогичные задачи можно ставить перед детьми в разных видах деятельности.

В процессе упражнения детей в построении упорядоченного ряда педагог вводит правило: прикладывать и переставлять предметы нельзя. Каждый следующий элемент среди оставшихся дети находят на глаз.

Можно предлагать и более сложные задачи . Например, выбрать на глаз 2 предмета и составить из них третий, равный образцу; установить соответствие между несколькими (2-3) рядами предметов, упорядоченных по размеру.

Данной работе необходимо уделить внимание не столько на занятиях по математике, сколько в часы игр. Вне занятий используют дидактические игры "Сложи дощечки", "Расставь по порядку", "В какую коробочку?", "Кто первый?" (автор Т. Г. Васильева).

Из всех типов операторов отношения чаще всего используются операторы сравнения – для определения относительного порядка двух величин.

Меньше (<). Результат оператора < равен true , если первый операнд меньше, чем второй операнд; в противном случае он равен false .

Больше (>). Результат оператора > равен true , если его первый операнд больше, чем второй операнд; в противном случае он равен false .

Меньше или равно (<=). Результатом оператора <= является true , если первый операнд меньше или равен второму операнду; в противном случае результат равен false .

Больше или равно (>=). Результат оператора >= равен true , если его первый операнд больше второго или равен ему; в противном случае он равен false .

Эти операторы позволяют сравнивать операнды любого типа. Однако сравнение может выполняться только для чисел и строк, поэтому операнды, не являющиеся числами или строками, преобразуются. Сравнение и преобразование выполняется следующим образом:

Если оба операнда являются числами или преобразуются в числа, они сравниваются как числа.

Если оба операнда являются строками или преобразуются в строки, они сравниваются как строки.

Если один операнд является строкой или преобразуется в строку, а другой является числом или преобразуется в число, оператор пытается преобразовать строку в число и выполнить численное сравнение. Если строка не представляет собой число, она преобразуется в значение NaN и результатом сравнения становится false .

Если объект может быть преобразован как в число, так и в строку, интерпретатор JavaScript выполняет преобразование в число. Это значит, например, что объекты Date сравниваются как числа, т. е. можно сравнить две даты и определить, какая из них более ранняя.

Если оба операнда не могут быть успешно преобразованы в числа или строки, операторы всегда возвращают false.

Если один из операндов равен или преобразуется в NaN, то результатом оператора сравнения является false.

Имейте в виду, что сравнение строк выполняется строго посимвольно, для числовых значений каждого символа из кодировки Unicode. В некоторых случаях стандарт Unicode допускает кодирование эквивалентных строк с применением различных последовательностей символов, но операторы сравнения в JavaScript не обнаруживают этих различий в кодировках; предполагается, что все строки представлены в нормализованной форме. Обратите внимание: сравнение строк производится с учетом регистра символов, т. е. в кодировке Unicode (по крайней мере, для подмножества ASCII) все прописные буквы «меньше» всех строчных букв. Это правило может приводить к непонятным результатам. Например, согласно оператору < строка "Zoo" меньше строки "aardvark".

При сравнении строк более устойчив метод String.localeCompare(), который также учитывает национальные определения «алфавитного порядка». Для сравнения без учета регистра необходимо сначала преобразовать строки в нижний или верхний регистр с помощью метода String.toLowerCase() или String.toUpperCase().

Операторы <= (меньше или равно) и >= (больше или равно) определяют «равенство» двух значений не при помощи операторов равенства или идентичности. Оператор «меньше или равно» определяется просто как «не больше», а оператор «больше или равно» – как «не меньше». Единственное исключение имеет место, когда один из операндов представляет собой значение NaN (или преобразуется в него); в этом случае все четыре оператора сравнения возвращают false .

Взгляните на рисунок. Вы видите две мензурки, в каждой из которых налито некоторое количество жидкости. Скажите, в какой из мензурок жидкости больше? Если вы считаете, что в правой – вы ошибаетесь! Правильный ответ такой: погрешность, возникающая при измерении объема жидкости этими мензурками, не позволяет сказать, в какой мензурке налито больше жидкости.

Как же это следует понимать? Давайте вспомним, что использование любого измерительного прибора обязательно сопровождается погрешностью измерения. Она зависит от цены деления шкалы этого прибора. Поскольку на правой мензурке деления более крупные, значит, погрешность измерения объема будет больше. Измерим объемы жидкостей в мензурках с учетом погрешностей.

Изобразим на двух числовых прямых измеренные значения объемов (отмечены желтыми точками) и интервалы между границами погрешностей измерений:

В отличие от измеренных значений, истинные значения объемов жидкостей находятся в неизвестном месте внутри интервалов. Истинный объем жидкости в левой мензурке может быть равен, например, 270 мл, а истинный объем жидкости в правой мензурке, например, 250 мл (отмечены красными точками).

Мы специально выбрали второе «красное» число меньше первого (ведь такая ситуация тоже может быть). А это значит, что правая мензурка может содержать меньший объем жидкости, чем левая, несмотря на то, что уровень жидкости в правой мензурке выше. Невероятно, но факт!