Пространственные и динамические модели. Пространственные модели

До последнего времени географические факторы, оказывающие существенно важное влияние на распространение заболеваний, исследовались сравнительно мало. Справедливость предположения об однородном перемешивании населения в небольшом городе или деревне уже давно ставилась под сомнение, хотя вполне допустимо в качестве первого приближения принять, что перемещения источников инфекции носят случайный характер и во многом напоминают движение частиц в коллоидном растворе. Тем не менее необходимо, конечно, иметь некоторое представление о том, к какому эффекту может привести наличие большого числа восприимчивых индивидуумов в пунктах, удаленных на довольно большие расстояния от любого данного источника инфекции.

В детерминистской модели, принадлежащей Д. Кендаллу, предполагается существование бесконечного двумерного континуума популяции, в которой на единицу площади приходится о индивидуумов. Рассмотрим область , окружающую точку Р, и допустим, что числа восприимчивых, зараженных и удаленных из коллектива индивидуумов равны соответственно . Величины х, у и z могут быть функциями времени и положения, однако их сумма должна равняться единице. Основные уравнения движения, аналогичные системе (9.18), имеют вид

где - пространственно взвешенное среднее значение

Пусть и - постоянные, - элемент площади, окружающий точку Q, и - неотрицательный весовой коэффициент.

Допустим, что начальная концентрация заболеваний равномерно распределена в некоторой небольшой области, окружающей первоначальный очаг. Заметим также, что в произведение Роху в явном виде введен множитель о, с тем чтобы скорость распространения инфекции оставалась независимой от плотности популяции. Если бы у оставалось постоянным на плоскости, то интеграл (9.53) наверняка сходился бы. В этом случае удобно было бы потребовать, чтобы

Описанная модель позволяет довольно далеко продвинуть математические исследования. Можно показать (с одной-двумя оговорками), что пандемия охватит всю плоскость в том и только в том случае, если плотность популяции превышает пороговое значение . Если пандемия возникла, то ее интенсивность определяется единственным положительным корнем уравнения

Смысл этого выражения состоит в том, что доля индивидуумов, заболевающих в конце концов в любой области, как бы далеко она ни отстояла от первоначального эпидемического очага, будет не меньше?. Очевидно, что эта теорема Кендалла о пороге пандемии аналогична пороговой теореме Кермака и Мак-Кендрика, в которой пространственный фактор не учитывался.

Можно также построить модель для следующего частного случая. Пусть х и у - пространственные плотности восприимчивых и зараженных индивидуумов соответственно. Если считать инфекцию локальной и изотропной, то нетрудно показать, что уравнения, соответствующие первым двум уравнениям системы (9.18), можно записать в виде

где не пространственные координаты] и

Для начального периода, когда можно приближенно считать постоянной величиной, второе уравнение системы (9.56) примет вид

Это стандартное уравнение диффузии, решение которого имеет вид

где постоянная С зависит от начальных условий.

Общее число зараженных индивидуумов, находящихся вне круга радиусом R, равно

Следовательно,

и если , то . Радиус соответствующий какому-либо выбранному значению растет со скоростью . Эту величину можно рассматривать как скорость распространения эпидемии, и ее предельное значение для больших t равно . В одном из случаев эпидемии кори в Глазго в течение почти полугода скорость распространения составляла около 135 м в неделю.

Уравнения (9.56) легко видоизменить так, чтобы была учтена миграция восприимчивых и зараженных индивидуумов, а также появление новых восприимчивых индивидуумов. Как и в случае повторяющихся эпидемий, рассмотренных в разд. 9.4, здесь возможно равновесное решение, однако небольшие колебания затухают столь же быстро или даже быстрее, чем в непространственной модели. Таким образом, ясно, что в данном случае детерминистский подход имеет определенные ограничения. В принципе следовало бы, конечно, предпочесть стохастические модели, но обычно анализ их сопряжен с огромными трудностями, во всяком случае если он проводится чисто математическим путем.

Было выполнено несколько работ по моделированию этих процессов. Так, Бартлетт использовал ЭВМ для изучения нескольких последовательных искусственных эпидемий. Пространственный фактор был учтен введением сетки ячеек . Внутри каждой ячейки использовались типичные непространственные модели для непрерывного или дискретного времени и допускалась случайная миграция зараженных индивидуумов между ячейками, имеющими общую границу. Была получена информация о критическом объеме популяции, ниже которого происходит затухание эпидемического процесса. Основные параметры модели были получены на основе фактических эпидемиологических и демографических данных.

Недавно автор этой книги предпринял ряд аналогичных исследований, в которых была сделана попытка построить пространственное обобщение стохастических моделей для простого и общего случаев, рассмотренных в разд. 9.2 и 9.3. Допустим, что имеется квадратная решетка, каждый узел которой занят одним восприимчивым индивидуумом. В центре квадрата помещается источник инфекции и рассматривается такой процесс цепочечно-биномиального типа для дискретного времени, в котором опасности заражения подвергаются только индивидуумы, непосредственно примыкающие к какому-либо источнику инфекции. Это могут быть либо только четыре ближайших соседа (схема 1), либо также индивидуумы, расположенные по диагонали (схема 2); во втором случае всего будет восемь индивидуумов, лежащих на сторонах квадрата, центр которого занимает источник инфекции.

Очевидно, что выбор схемы произволен, однако в нашей работе использовалось последнее расположение.

Сначала была рассмотрена простая эпидемия без случаев выздоровления. Для удобства использовалась решетка ограниченного размера, и информация о состоянии каждого индивидуума (т. е. восприимчив ли он к инфекции или является ее источником) хранилась в вычислительной машине. В процессе моделирования проводилась текущая запись изменений состояния всех индивидуумов и подсчитывалось общее число новых случаев заболевания во всех квадратах с первоначальным источником инфекции в центре. В памяти машины фиксировались также текущие значения суммы и суммы квадратов числа случаев. Это позволило довольно легко вычислить средние значения и средние квадратические ошибки. Детали этого исследования будут опубликованы в отдельной статье, а здесь мы отметим лишь одну-две частные особенности этой работы. Например, ясно, что при очень высокой вероятности достаточного контакта будет иметь место почти детерминированное распространение эпидемии, при котором на каждом новом этапе развития эпидемии будет добавляться новый квадрат с источниками инфекции.

При меньших вероятностях будет иметь место действительно стохастическое распространение эпидемии. Так как каждый источник инфекции может заразить только восемь своих ближайших соседей, а не всю популяцию, то можно ожидать, что эпидемическая кривая для всей решетки будет возрастать не столь резко, как при однородном перемешивании всей популяции. Этот прогноз действительно оправдывается, и число новых случаев увеличивается с течением времени более или менее линейно до тех пор, пока не начнут сказываться краевые эффекты (поскольку решетка имеет ограниченную протяженность).

Таблица 9. Пространственная стохастическая модель простой эпидемии, построенная на решетке 21x21

В табл. 9 приведены результаты, полученные для решетки при наличии одного исходного источника инфекции и вероятности достаточного контакта, равной 0,6. Можно видеть, что между первым и десятым этапами эпидемии среднее число новых случаев каждый раз увеличивается примерно на 7,5. После этого начинает преобладать краевой эффект, и эпидемическая кривая резко падает вниз.

Можно также определить среднее число новых случаев для любой данной точки решетки и найти таким образом эпидемическую кривую для этой точки. Удобно проводить усреднение по всем точкам, лежащим на границе квадрата, в центре которого находится источник инфекции, хотя симметрия в этом случае не будет полной. Сравнение результатов для квадратов различного размера дает картину эпидемической волны, движущейся от первоначального источника инфекции.

Здесь мы имеем последовательность распределений, моды которых увеличиваются в линейной прогрессии, а дисперсия непрерывно возрастает.

Было также выполнено более детальное исследование эпидемии общего типа с удалением зараженных индивидуумов. Безусловно, все это очень упрощенные модели. Однако важно понять, что они могут быть значительно усовершенствованы. Чтобы учесть мобильность популяции, надо допустить, что восприимчивые индивидуумы заражаются и от тех источников инфекции, которые не являются их ближайшими соседями. Возможно, здесь придется использовать какой-то весовой коэффициент, зависящий от расстояния. Видоизменения, которые нужно будет ввести при этом в программу вычислительной машины, сравнительно невелики. На следующем этапе, возможно, удастся описать таким способом реальные или типичные популяции с самой разнообразной структурой. Это откроет возможность оценивать эпидемиологическое состояние реальных популяций с точки зрения опасности возникновения эпидемий различного типа.

Существует модель, которая связывает и согласовывает между собой два, на первый взгляд далекие друг от друга описания человека – психофизическое и Трансперсональное. Модель эта имеет многовековую историю и опирается на глубокий исследовательский и практический опыт, передающийся непосредственно от Учителя к Ученику. На языке Традиции, представителями которой являются авторы данной книги, модель эта носит название Объемно – Пространственная Модель, (которая неоднократно упоминалась уже в первых главах). Имеются некоторые параллели Объемно – Пространственной Модели с другими древними описаниями человека (системой Чакр – “тонких” тел; “энергетических центров” – “планов сознания” и др.). К сожалению, серьезное исследование этих моделей сейчас, в большинстве случаев, подменено распространенным вульгарным представлением о Чакрах, как о неких пространственно – локализованных образованиях, а о “тонких” телах, как о своеобразной “матрешке”, состоящей из каких-то невидимых невооруженным глазом сущностей. Авторам известно лишь сравнительно небольшое число современных трезвых исследований этого вопроса [см., например, Йог №20 “Вопросы Общей теории Чакр” СПб 1994.]

Сложившаяся ситуация крайне невыгодна: критически мыслящие специалисты настроены к модели Чакр и “тонких” тел скептически, прочие же (иногда несмотря даже на длительный опыт работы психологом или психотерапевтом) становятся в один ряд с домохозяйками (не в обиду им сказано), посещающими курсы “экстрасенсорики”, и пополняют армию носителей легенд о Чакрах и “Телах”, распространяемых популярными брошюрами. Дело доходит иногда до комического оборота. Так, одному из авторов данной книги довелось несколько лет назад присутствовать на психологическом тренинге, с элементами “эзотерики”, где весьма авторитетный ведущий давал примерно такую инструкцию к одному из упражнений: “... А теперь, вы своей эфирной рукой поставьте “якорь” прямо клиенту в нижнюю Чакру...”, что большинство присутствующих сразу с энтузиазмом попытались осуществить (конечно, не далее, чем в своем воображении).

Далее мы не будем упоминать Чакры и Тела, а будем пользоваться языком Объемов и Пространств. Не следует, однако, проводить однозначное соответствие между Объемами и Чакрами, Пространствами и Телами; несмотря на некоторое сходство, модели эти отличаются; отличия, в свою очередь, связаны не с претензией на большую или меньшую правильность, а с удобством для той Практики, которую мы представляем на страницах данной книги.

Вернемся еще раз к определениям Объемов и Пространств, которые мы давали в главах 1 и 2:

Итак, Объемы – это не части физического тела и не некие локализованные области. Каждый Объем – Целостное психофизическое состояние, образование, отражающее некоторую (конгруэнтную) совокупность определенных качеств организма, как целого. Если говорить на энергетическом языке, то Объем – определенный диапазон энергии, который, при фокусировке восприятия на физическом мире, проявляется в сочетании тканей, органов, участков нервной системы и т.д. В довольно упрощенном варианте можно для каждого Объема найти наиболее характерную функцию и задачу, которую он выполняет в организме. . Так, функции Копчикового Объема можно связать с задачей выживания во всех его формах (физического, социального, духовного), проявления, рождения, становления... Функции Мочеполового Объема ассоциируются с процветанием, изобилием, плодородием, развитием и преумножением, многообразием и достатком... Для Пупочного Объема основные задачи (читай – диапазон энергии) – упорядочивание, структурирование, управление и связывание. И так далее. Нас будут пока интересовать не конкретные функции Объемов. а общие механизмы работы с ними.

Каждое переживание, любой опыт воспринимается нами преимущественно через тот или иной Объем. Это относится к любому опыту – если мы хотим активизировать то или иное переживание, то возбуждается тот или иной Объем и мы начинаем воспринимать Мир “через него”. Применительно к психотерапевтической работе – когда терапевт обращается к какому-то переживанию клиента: “проблемному” или “ресурсному”, пытается работать с некой “частью личности”, он, тем самым, фокусирует сознание пациента в какой-то области того или иного Объема (кстати, мы кратко упомянули функции только трех нижних Объемов потому, что реальная продуктивная фокусировка внимания в верхних Объемах – явление незаурядное – тут не все так просто, как описано в книжках). То же относится и к Пространствам. Напомним, что Пространства – схемы восприятия, отражающие уровни “тонкости” восприятия. Один и тот же Объем на разных уровнях восприятия будет проявляться по-своему, сохраняя свои основные задачи. Так, например, Пупочный Объем в Пространстве Событий проявляется через ряд ситуаций, в которых человек что-то с чем-то связывает, упорядочивает, управляет и т.п., в Пространстве Имен – тот же Объем проявится через схематизацию. моделирование, приведение в порядок мыслей и взглядов на Мир, построение планов и т.д., в Пространстве Отражений весь эмоциональный спектр тоже будет окрашен соответствующими этому Объему задачами.

Объемно-Пространственную Модель организма человека можно условно представить в виде схемы (Рис.3.)

Рис.3. Объемно-Пространственная Модель.

На схеме (Рис.3.) наглядно видно, что каждое Пространство охватывает весь спектр энергии на определенном уровне “тонкости”, где каждый Объем – это “сектор”, выделяющий определенный энергетический диапазон.

Итак – Объемно-Пространственная Модель позволяет в Человеке и в Мире, которые воспринимаются, как динамические энергетические структуры, выделить различные качества энергии. В восприятии эти качества энергии проявляются через определенное сочетание самых разнообразных факторов:

физиологических процессов (механических, тепловых, химических, электродинамических), динамике нервных импульсов, активизации тех или иных модальностей, окраске эмоций и мышления, сочетании событий, переплетении судеб; попадании в соответствующие “внешние” условия: географические, климатические, социальные, политические, исторические, культурные...

Энергопотоки.

Схема, приведенная на Рис.3. дает нам энергетическую модель организма человека. С этой точки зрения, всю жизнь человека, как проявление, оформление этой энергии или как динамику само-восприятия, можно представить в виде движения-пульсации некого “узора” на схеме, где в каждый момент времени активизируются те или иные области энергетического спектра (Рис.4.).

Однако динамика само-восприятия и движения энергии не так уж произвольны и многообразны для обычного человека. Существуют области, в которых восприятие, так сказать, зафиксировано и довольно устойчиво, некоторые области спектра доступны только изредка и при особом стечении обстоятельств. Существуют области, практически недоступные для осознания в течении всей жизни (для каждого человека разные: для одного человека недоступно переживание смысла, другой за всю жизнь так и не пережил по-настоящему свое тело, третий не в состоянии пережить определенное качество эмоций, событий, мыслей и т.п.).

Наиболее вероятная траектория движения и фиксаций восприятия и осознания определяется Доминантой. Становится понятно, что для того, чтобы оторваться от этой наиболее вероятной траектории и устойчивых позиций восприятия, нужна некая добавочная энергия и, что самое важное, умение направить эту энергию в нужном направлении, так, чтобы она не попала в наработанное стереотипное русло.

Рис.4. Динамика восприятия во времени.

Этим и объясняется наличие труднодоступных и недоступных для восприятия и осознания диапазонов – обычно у человека нет этой добавочной энергии; лишь иногда она может высвободиться в результате каких-либо чрезвычайных, чаще всего стрессовых, обстоятельств, что позволит восприятию сместиться в ранее недоступный диапазон (такое внезапное смещение восприятия может привести к появлению у человека каких-то новых способностей, недоступных в обычном состоянии).

Для более детального описания этой ситуации нам потребуется обратиться к понятию Энергопотока. Энергопоток – движение, развитие точечного импульса восприятия в Объемно-Пространственной энергосистеме. Можно сказать еще и так: Энергопоток – динамическое соединение различных областей в Индивидуальной Сфере по общему энергодиапазону (например по одной модальности).

“Находясь в непрерывном диалоге с Миром, человек (И.С.) откликается практически на все сигналы, приходящие “извне” движением Энергопотоков. Причем чувствительность И.С. значительно выше порога восприятия органов чувств. Соответственно существует множество неосознанных реакций.

Особенности личной деформации И.С. создают постоянные характерные индивидуальные Энергопотоки. То, что мы осознаем, как ощущения, эмоции, мысли, движения тела и превратности судьбы, память, проекции будущего, болезни, особенности культуры и мировоззрения – все это (и многое другое) движение Энергопотоков.”

Можно условно выделить конструктивные и деструктивные Энергопотоки. Конструктивный Э. – динамика восприятия, способствующая устранению деформаций из И.С. – жестких, доминирующих структур. Деструктивный Э. – динамика восприятия, способствующая возникновению новых или подкреплению имеющихся деформаций И.С.

В свою очередь, динамикой Энергопотоков мы будем называть многофакторный динамический процесс, переводящий восприятие человека из одного состояния в другое (пример динамики Энергопотоков изображен на Рис.5.).

В Целостном организме возможны любые Энергопотоки, для которых он (организм) абсолютно прозрачен и проницаем. Динамика Энергопотоков может, в таких случаях, переводить восприятие в любое положение. (Это эквивалентно тому, что мы назвали сквозным Осознанием в Главе 1.).

Динамика Энергопотоков – процесс многофакторный, т.к. любое состояние проявляется в виде сочетания большого числа факторов (например, определенных ощущений, характера движений. мимики, параметров голоса, тех или иных эмоций и т.п.). Динамика Энергопотоков переводит одно состояние в другое (точнее сказать – это процесс – непрерывная смена состояний) и, соответственно, могут меняться какие-то факторы и параметры, через которые Энергопотоки проявляются.

Рис.5. Пример динамики Энергопотоков, переводящей восприятие из состояния с жестко локализованной структурой (А)в более Целостное (Д), в пределах одного Пространства

Если теперь обратиться к психотерапии, то мы обнаружим следующее:

Пациент находится в некотором состоянии восприятия (определяемом его Доминантой), которое, очевидно, не Целостно, в его энергетике имеются жестко локализованные структуры, что не дает возможности сдвигать восприятие в другие положения. Для выхода из такой ситуации необходимо задать Энергопотоки, позволяющие сместиться в другое состояние, которое пациент будет воспринимать, как более позитивное. На этом психотерапия, обычно, заканчивается.

Если посмотреть с более общих позиций, то окажется, что не‑пациент или вылечившийся пациент по большому счету мало чем отличается от “больного”. Отличие только в том, что “больной” воспринимает свое состояние, как дискомфортное, а “здоровый”– как более – менеекомфортное и, может быть, имеющее больше степеней свободы. Однако, к Целостности это не имеет никакого отношения, т.к. и состояние “больного” и “здорового” это, как правило, все равно ограниченные, локализованные и задаваемые Доминантой фиксации восприятия.

Целостность подразумевает возможность самостоятель­ного задания любых Энергопотоков и переживания Мира то­тально, одномоментно всем организмом.

Классификация видов моделирования может быть проведена по разным основаниям. Модели можно различать по ряду признаков: характеру моделируемых объектов, сферам приложения, глубине моделирования. Рассмотрим 2 варианта классификации. Первый вариант классификации. По глубине моделирования методы моделирования делятся на две группы: материальное (предметное) и идеальное моделирование. Материальное моделирование основано на материальной аналогии объекта и модели. Оно осуществляется с помощью воспроизведения основных геометрических, физических или функциональных характеристик изучаемого объекта. Частным случаем материального моделирования является физическое моделирование. Частным случаем физического моделирования является аналоговое моделирование. Оно основано на аналогии явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями. Образец аналогового моделирования – изучение механических колебаний (например, упругой балки) с помощью электрической системы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями. Так как эксперименты с электрической системой обычно проще и дешевле, она исследуется в качестве аналога механической системы (например, при изучении колебаний мостов).

Идеальное моделирование основано на идеальной (мысленной) аналогии. В экономических исследованиях (на высоком уровне их проведения, а не на субъективных желаниях отдельных руководителей) это основной вид моделирования. Идеальное моделирование, в свою очередь, разбивается на два подкласса: знаковое (формализованное) и интуитивное моделирование. При знаковом моделировании моделями служат схемы, графики, чертежи, формулы. Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, осуществляемое средствами логико-математических построений.

Интуитивное моделирование встречается в тех областях науки и практики, где познавательный процесс находится на начальной стадии или имеют место очень сложные системные взаимосвязи. Такие исследования называют мысленными экспериментами. В экономике в основном применяется знаковое или интуитивное моделирование; оно описывает мировоззрение ученых или практический опыт работников в сфере управления ею. Второй вариант классификации приведен на рис. 1.3.В соответствии с классификационным признаком полноты моделирование делится на полное, неполное и приближенное. При полном моделировании модели идентичны объекту во времени и пространстве. Для неполного моделирования эта идентичность не сохраняется. В основе приближенного моделирования лежит подобие, при котором некоторые стороны реального объекта не моделируются совсем. Теория подобия утверждает, что абсолютное подобие возможно лишь при замене одного объекта другим точно таким же. Поэтому при моделировании абсолютное подобие не имеет места. Исследователи стремятся к тому, чтобы модель хорошо отображала только исследуемый аспект системы. Например, для оценки помехоустойчивости дискретных каналов передачи информации функциональная и информационная модели системы могут не разрабатываться. Для достижения цели моделирования вполне достаточна событийная модель, описываемая матрицей условных вероятностей ||рij|| переходов i-го символа алфавита j-й.В зависимости от типа носителя и сигнатуры модели различаются следующие виды моделирования: детерминированное и стохастическое, статическое и динамическое, дискретное, непрерывное и дискретно-непрерывное. Детерминированное моделирование отображает процессы, в которых предполагается отсутствие случайных воздействий. Стохастическое моделирование учитывает вероятностные процессы и события. Статическое моделирование служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени, а динамическое - для исследования объекта во времени. При этом оперируют аналоговыми (непрерывными), дискретными и смешанными моделями. В зависимости от формы реализации носителя моделирование классифицируется на мысленное и реальное. Мысленное моделирование применяется тогда, когда модели не реализуемы в заданном интервале времени либо отсутствуют условия для их физического создания (например, ситуация микромира). Мысленное моделирование реальных систем реализуется в виде наглядного, символического и математического. Для представления функциональных, информационных и событийных моделей этого вида моделирования разработано значительное количество средств и методов. При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. Примером таких моделей являются учебные плакаты, рисунки, схемы, диаграммы. В основу гипотетического моделирования закладывается гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Этот вид моделирования используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей.

Динамическое моделирование – многошаговый процесс, каждый шаг соответствует поведению экономической системы у определенный временный период. Каждый текущий шаг получает результаты предыдущего шага, который по определенным правилам определяет текущий результат и формирует данные для следующего шага.

Таким образом, динамическая модель в ускоренном режиме позволяет исследовать развития сложной экономической системы, скажем, предприятия, на протяжении определенного периода планирования в условиях изменения ресурсного обеспечения (сырья, кадров, финансов, техники), и получение результаты представить у соответствующему плане развития предприятия на заданный период.

Для решения динамических задач оптимизации в математическом программировании сформировался соответствующий класс моделей под названием динамическое программирование, его основателем стал известный американский математик Р. Беллман. Им предложен специальный метод решения задача этого класса на основе «принципа оптимальности», согласно которого оптимальное решение задачи находится путем ее разбиения на n этапов, каждый с которых представляет подзадачу относительно одной переменной. Расчет выполняется таким образом, что оптимальный результат одной подзадачи является исходными данными для следующей подзадачи с учетом уравнений и ограничений связи между ними, результат последней из них является результатом всей задачи. Общим для всех моделей этой категории является то, что текущие управляющие решения "проявляются" как в период, относящийся непосредственно к моменту принятия решения, так и в последующие периоды. Следовательно, наиболее важные экономические последствия проявляются в разные периоды, а не только в течение одного периода. Такого рода экономические последствия, как правило, оказываются существенными в тех случаях, когда речь идет об управляющих решениях, связанных с возможностью новых капиталовложений, увеличения производственных мощностей или обучения персонала с целью. создания предпосылок для увеличения прибыльности или сокращения издержек в последующие периоды.

Типичными областями применения моделей динамического программирования при принятии решений являются:

Разработка правил управления запасами, устанавливающих момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа.

Разработка принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию.

Определение необходимого объема запасных частей, гарантирующего эффективное использование дорогостоящего оборудования.

Распределение дефицитных капитальных вложений между возможными новыми направлениями их использования.

В задачах, решаемых методом динамического программирования, значение целевой функции (оптимизируемого критерия) для всего процесса получают простым суммированием частных значений fi(x) того же критерия на отдельных шагах, то есть

Если критерий (или функция) f(x) обладает этим свойством, то его называют аддитивным (аддитивной).

Алгоритм динамического программирования

1. На выбранном шаге задаем набор (определяемый условиями-ограничениями) значений переменной, характеризующей последний шаг, возможные состояния системы на предпоследнем шаге. Для каждого возможного состояния и каждого значения выбранной переменной вычисляем значения целевой функции. Из них для каждого исхода предпоследнего шага выбираем оптимальные значения целевой функции и соответствующие им значения рассматриваемой переменной. Для каждого исхода предпоследнего шага запоминаем оптимальное значение переменной (или несколько значений, если таких значений больше одного) и соответствующее значение целевой функции. Получаем и фиксируем соответствующую таблицу.

2. Переходим к оптимизации на этапе, предшествующем предыдущему (движение "вспять"), отыскивая оптимальное значение новой переменной при фиксированных найденных ранее оптимальных значениях следующих переменных. Оптимальное значение целевой функции на последующих шагах (при оптимальных значениях последующих переменных) считываем из предыдущей таблицы. Если новая переменная характеризует первый шаг, то переходим к п.З. В противном случае повторяем п.2 для следующей переменной.

З. При данном в задаче исходном условии для каждого возможного значения первой переменной вычисляем значение целевой функции. Выбираем оптимальное значение целевой функции, соответствующее оптимальному(ым) значению(иям) первой переменной.

4. При известном оптимальном значении первой переменной определяем исходные данные для следующего (второго) шага и по последней таблице - оптимальное(ые) значение(ия) следующей (второй) переменной.

5. Если следующая переменная не характеризует последний шаг, то переходим к п.4.Иначе переходим к п.6.

6.Формируем (выписываем) оптимальное решение.

Список использованной литературы

1. Microsoft Office 2010. Самоучитель. Ю. Стоцкий, А. Васильев, И. Телина. Питер. 2011, - 432 с.

2. Фигурнов В.Э. IBM PC для пользователя. Изд-е 7-е. - М.: Инфра-М, 1995.

3. Левин А. Самоучитель работы на компьютере. М. : Нолидж, 1998, - 624 с.

4. Информатика: практикум по технологии работы на персональном компьютере /Под ред. проф. Н.В.Макаровой - М. : Финансы и статистика, 1997 г. - 384с.

5. Информатика: Учебник / Под ред. проф. Н.В. Макаровой - М. : Финансы истатистика, 1997 г. - 768 с.

Похожая информация.

Говоря о геометрических телах на первом уроке геометрии, необходимо указать такие их виды, которые будут изучаться в курсе математики - это куб, параллелепипед, призма, пирамида, усеченная пирамида, шар, цилиндр, конус, усеченный конус. Можно сообщить здесь и названия, не давая определений; предварительно полезно убедиться, какие термины уже известны школьникам, а какие - не известны. Также в беседе с учащимися устанавливаются особенности этих форм, их отличительные признаки .

Желательно, чтобы ученики на моделях этих тел показали поверхности кривые и плоские, линии прямые, кривые и ломаные, точки. Здесь же попутно напомнить термины «грань», «ребро», «вершина».

Можно выполнить серии упражнений на подсчет числа граней, вершин, ребер у куба, пирамиды и других тел, поместить данные в таблицу. Интересно сопоставить число граней, вершин, ребер куба и прямоугольного, прямого наклонного параллелепипедов (термины не сообщаются). Поможет сделать правильный вывод модель куба, у которой вертикальные ребра сделаны из резинок. В руках учителя модель трансформируется из куба в прямоугольный, затем в наклонный параллелепипед .

Рассмотрим некоторые примеры использования пространственных объектных моделей на уроках планиметрии в 7-9-ых классах средней школы (табл. 2).

Таблица 2. Примеры использования пространственных моделей на уроках планиметрии

Очевидно, описанный здесь наглядно-интуитивный выход в пространство при изучении курса планиметрии может сопровождаться также обобщением некоторых вводимых понятий. На это уйдет не очень много времени.

Итак, используя стереометрические модели и их разрезы для изучения элементов планиметрии, мы достигаем сразу нескольких целей, главными из которых являются :

• 1) обеспечение всестороннего, более глубокого понимания планиметрических зависимостей;
• 2) развитие пространственны представлений учащихся при изучении планиметрии;
• 3) применение знаний по планиметрии при решении пространственных задач, т.е. сближение обучения с возможными приложениями в жизни;
• 4) приложение измерительных и конструктивных навыков к естественнонаучным методам изучения особенностей пространственных фигур;
• 5) подготовка к изучению систематического курса стереометрии.

Можно привести еще целый ряд примеров весьма эффективного использования геометрических моделей постоянной формы. Однако такие модели в настоящее время не могут полностью удовлетворять современным требованиям методики преподавания геометрии, когда идея движения и связанные с нею геометрические преобразования прочно вошли в курс элементарной геометрии. Возникает необходимость при изучении геометрии вводить подвижные наглядные пособия, окружающие идею движения в геометрии.

В предыдущей главе мы рассматривали модели, которые явля­ются статическим отражением систем в определенные моменты времени. В этом смысле рассмотренные варианты модели «черного ящика», модели состава и структурной модели называют статиче­скими моделями, что подчеркивает их неподвижность.

Следующий шаг в исследовании системы состоит в том, чтобы понять и описать, как система «работает», выполняя свое предна­значение. Такие модели должны описывать поведение системы, фиксировать изменения, происходящие с течением времени, улав­ливать причинно-следственные связи, адекватно отражать последо­вательность протекаемых в системе процессов и этапность ее разви­тия. Такого рода модели называют динамическими. При исследова­нии конкретной системы необходимо определить направление воз­можных изменений ситуации. Если такой перечень будет исчерпы­вающим, то он характеризует число степеней свободы, а значит, достаточен для описания состояния системы. Как оказалось, дина­мические модели делятся на такие же типы, как статические («чер­ного ящика», состава и «белого ящика»), только элементы этих мо­делей имеют временной характер.

2.4.1. Динамическая модель «черного ящика»

При математическом моделировании динамической системы ее конкретная реализация описывается в виде соответствия между возможными значениями некоторой интегральной характеристики системы с и моментами времени t. Если обозначить через С - множество возможных значений с, а через Т - упорядоченное множество моментов времени t, то построение модели динамиче­ской системы равносильно построению отображения

Г->С:с(t)ϵСͭͭ,

где Сͭ - значение интегральной характеристики в точке t ϵ .

В динамической модели «черного ящика» предполагается раз­биение входного потока х на две составляющие: и - управляемые входы, y - неуправляемые входы (рис 2.9).

Таким образом, она выражается совокупностью двух процессов:

Хͭ = {u(t), y(t)}; u(t)eU; y(f)eK;

Рис. 2.9. Динамическая модель «черного ящика»

предполагается, что это преобразование неизвестно.

Из данного типа моделей в наибольшей мере изучены так назы­ваемые безынерционные системы. Они не учитывают фактора време­ни и работают по схеме «если-то». Например: если воду нагреть до

100° С, то она закипит. Или: если вы правильно авторизовали свою кредитную карту, то банкомат вам сразу выдаст затребованную сумму денег. То есть следствие вступает в силу сразу за причиной.

Определение 1. Динамическая система называется безынерцион­ной, если она мгновенно преобразует вход в выход, т.е. если y(t)

является функцией только х(t) в тот же момент времени.

Поиск неизвестной функции у(/) = Ф(х(t)) осуществляется по­средством наблюдения входов и выходов исследуемой системы. По существу, эта задача о переходе от модели «черного ящика» к моде­ли «белого ящика» по наблюдениям входов и выходов при наличии информации о безынерционности системы.

Однако класс безынерционных систем весьма узок. В экономи­ке такие системы очень большая редкость. Разве только отдельные биржевые операции с некоторой натяжкой можно причислить к классу безинерционных.

При моделировании экономических систем необходимо пом­нить, что в них всегда присутствует задержка и, более того, следст­вие (результат) может проявиться совсем не в том месте, где его ожидали. Таким образом, имея дело с экономическими системами, нужно быть готовым к тому, что последствия могут отстоять от вы­звавшей их причины во времени и пространстве.

Например, если в фирме отдел сбыта пустит на самотек пред­продажное обслуживание и сконцентрирует все свои силы на про­дажах, пострадает отдел гарантийного обслуживания. Но это про­явится не сразу, а спустя определенное время. На лицо проявление следствия «не там и не в то время». Или: для изменения покупа­тельских пристрастий может потребоваться несколько недель рек­ламной кампании, и не обязательно ощутимые перемены начнутся сразу же после ее окончания.

Обратная связь действует по цепочке причинно-следственных связей, образующих замкнутый контур, и требуется время, чтобы его обойти. Чем большей динамической сложностью обладает сис­тема, тем больше нужно времени на то, чтобы сигнал обратной свя­зи пробежал по ее структуре (сети взаимосвязей). Достаточно одной задержки, чтобы обеспечить сильное запаздывание сигнала.

Определение 2. Время, необходимое для того, чтобы сигнал об­ратной связи прошел по всем звеньям системы и вернулся в исход­ную точку, называется памятью системы.

Не только живые системы имеют память. В экономике, напри­мер, это ярко демонстрирует процесс вывода на рынок нового то­вара. Как только на рынке появляется новый товар, пользующийся спросом, сразу находится много желающих его производить. Мно­гие фирмы запускают производство этого товара, и пока существует спрос, наращивают его объемы. Рынок постепенно насыщается, но производители пока этого не ощущают. Когда объем производства превысит некоторое критическое значение, спрос станет падать. Производство товара по определенной инерции еще некоторое вре­мя будет продолжаться. Начнется затоваривание складов готовой продукцией. Предложение сильно превысит спрос. Цена на товар упадет. Многие фирмы прекратят производство этого товара. И та­кая ситуация будет сохраняться до тех пор, пока предложение не упадет до таких значений, что не сможет покрыть существующий спрос. Рынок сразу уловит складывающийся дефицит и отреагирует повышением цены. После этого начнется оживление производства и новый цикл взлета-падения рынка. Так будет продолжаться до тех пор, пока на рынке не останутся несколько производителей, которые либо договорятся между собой, либо интуитивно нащупают квоты производства товара, суммарный объем которых будет соответство­вать требуемому соотношению спроса и предложения (рис. 2.10).

Рис. 2.11. Колебание рынка товара

В такой ситуации есть два решения. Во-первых, можно сделать более надежным измерение, осуществляя постоянный или перио­дический мониторинг рынка. Во-вторых, следует учитывать раз­ницу во времени и стремиться оказаться там где нужно к тому времени, когда сигнал обратной связи успеет пройти через все звенья системы. Когда понимаешь, как осуществляется процесс, появляется возможность изменить ситуацию в желательном на­правлении.

В очень сложных системах следствие может проявиться спустя очень длительное время. К тому времени, когда оно даст о себе знать, критический порог может миновать и будет уже поздно что- либо исправлять. Особенно наглядно такая опасность просматрива­ется во влиянии промышленных отходов на окружающую среду. То, что мы делаем сейчас, скажется на нашей будущей жизни, когда появятся последствия наших дел. Нашими сегодняшними поступ­ками мы формируем облик будущего.

В облике динамической модели «черного ящика», по существу, ничего не изменится, кроме того, что момент появления выхода у потребуется скорректировать на время задержки ∆, т.е. выход сис­темы примет вид y(t + ∆) (см. рис. 2.10). Однако основная труд­ность моделирования в том и заключается, чтобы определить вели­чину Д и место, в котором появится у. Наилучшим образом это удается в рамках построения так называемых лаговых моделей, кото­рые изучает математическая статистика.

2.4.2. Динамическая модель состава

В теории систем различают два вида динамики: функциониро­вание и развитие. Под функционированием подразумевают процессы, которые происходят в системе, стабильно реализующей фиксиро­ванную цель (функционирует предприятие, функционируют часы, функционирует городской транспорт и т.п.). Под развитием пони­мают изменение состояния системы, обусловленное внешними и внутренними причинами. Развитие, как правило, связывают с дви­жением систем в фазовом пространстве.

Исследованием функционирования экономических систем заня­ты специалисты в области экономического анализа. Исходную базу для этого исследования составляют данные бухгалтерского учета, статистической отчетности и статистических наблюдений. В боль­шинстве случаев задача экономического анализа решается аналити­ческими методами бухгалтерского учета или сводится к построению и реализации корреляционно-регрессионных моделей. Богатейший инструментарий экономического анализа изучается в рамках ряда дисциплин цикла «Бухгалтерский учет и статистика».

Развитие в большинстве случаев обусловлено изменением внешних целей системы. Характерной чертой развития является то, что существующая структура перестает соответствовать новым це­лям и для обеспечения необходимого соответствия приходится из­менять структуру системы, т.е. осуществлять ее реорганизацию. Экономические системы (предприятия, организации, корпоратив­ные образования) в условиях рыночной экономики для выживания в конкурентной борьбе должны постоянно находиться в фазе разви­тия. Только постоянное обновление ассортимента выпускаемой продукции или оказываемых услуг, совершенствование технологии производства и методов управления, повышение квалификации и образованности персонала могут обеспечить экономической систе­ме определенные конкурентные преимущества и расширенное вос­производство.

В данном параграфе, не отрицая значимости фазы функциони­рования системы, большей частью будем вести речь о фазе ее раз­вития, хотя при расширенном толковании функционирования сис­темы как движения к намеченной цели (плану) приведенные ниже рассуждения вполне применимы к моделированию фазы функцио­нирования системы.

Динамическому варианту модели состава соответствует перечень этапов развития или состояний системы на моделируемом интерва­ле времени. Под состоянием системы будем понимать такую сово­купность параметров, характеризующих пространственное положе­ние системы, которая исчерпывающе определяет ее текущее позирование.

Фиксация состояния определяется посредством введения раз­личных переменных, каждая из которых отражает какую-то одну существенную сторону исследуемой системы. В данном случае важ­на исчерпываемость описания для раскрытия того назначения сис­темы, которое подвергается исследованию в рамках данной модели.

Наиболее наглядно состояние системы определяется через сте­пени свободы. Это понятие введено в механике и означает число независимых координат, однозначно описывающих положение сис­темы. Так, твердое тело в механике есть система с шестью степеня­ми свободы: три линейные координаты фиксируют положение цен­тра масс, а три угловые - положение тела относительно центра масс.

В экономических исследованиях каждую координату (степень свободы) связывают с определенным показателем (количественно измеряемой характеристикой системы). Ключевая задача при этом заключается в том, чтобы обеспечить независимость показателей, отобранных для построения модели системы. Поэтому необходимо глубоко понимать природу экономических явлений и отражающих их показателей, чтобы правильно сформировать базис для построе­ния модели состава экономической системы.

Рис. 2.12. Траектория развития системы

Тогда состояние системы в момент времени ts описывается вектором Cs = (C1s,C2s,C3s). Аналогично описываются ее началь­ное Сн и конечное Ск состояния, а изменения в системе отобра­жаются некоторой кривой - траекторией развития. Каждая точка этой кривой фиксирует состояние системы в определенный момент времени. Тогда движение системы эквивалентно перемещению точ­ки по траектории С2.

Экстраполируя это описание на случай и независимых коорди­нат и помня, что каждая координата (параметр) зависит от времени t, развитие системы можно описать совокупностью функций с1= с1(t), с2=с2(t) ,..., сn =сn(t), или вектором (с1(t), с2 (t),...,сn =сn(t)), принадлежащим пространству состояний С.

Таким образом, динамическая модель состава системы это не что иное, как упорядоченная последовательность ее состояний, по­следнее из которых эквивалентно цели системы, т.е.

Сн =С0 ->СJ ->Ct ->...->СT=Ск,

где Сн - начальное;

Ск - конечное;

С, = (c1 (t), c2 (t),..., сn (t)), t ϵ - текущее состояние системы.

Случай, когда строго определены граничные состояния систе­мы, относится к категории простейших, так как далеко не всегда удается описать состояние конкретными значениями. Более общей является ситуация, когда на начальное и конечное состояния сис­темы накладываются некоторые условия. Каждое из условий в про­странстве состояний представляется некоторой поверхностью или областью, размерность которой не должна быть больше числа сте­пеней свободы системы. Тогда вектор состояния системы в гранич­ные моменты времени должен находиться на заданной поверхности или в заданной области, что и будет означать выполнение условий.

2.4.3. Динамическая структурная модель

В динамических системах элементы могут вступать в самые раз­нообразные отношения между собой. А поскольку каждый из них способен пребывать во множестве различных состояний, то даже при небольшом числе элементов они могут быть соединены множе­ством различных способов. Построить модель такой системы, пре­дусмотрев изменение состояний одних элементов системы в зави­симости от того, что происходит с другими ее элементами, - очень непростая задача. Тем не менее современная наука выработала не­мало подходов к моделированию такого рода систем. На двух из них, которые стали классическими, остановимся подробнее.

Как и в случае статической структурной модели, динамическая структурная модель представляет собой симбиоз динамической мо­дели «черного ящика» и динамической модели состава. Другими словами, динамическая структурная модель должна увязать в еди­ное целое вход в систему X = {х(t)} = {u(t),v(t)}, u(t)ϵu, v(t)ϵV, промежуточные состояния

Ct = , t ϵ, и выход y={y(t)},

где, U - множество управляемых входов u(t);

U - множество неуправляемых входов v(t);

X = U U X - множество всех входов в систему;

Т - горизонт моделирования системы;

С, - промежуточное состояние системы в момент време­ни t ϵ .

В зависимости от того, отображаются промежуточные состояния системы строго определенной упорядоченной последовательностью

Сt (t = 0,1, 2, ..., Т) или одной неопределенной функцией Ct = Ф(t, хt), в результате моделирования получают либо динамическую струк­турную модель сетевого типа, либо динамическую структурную мо­дель аналитического типа.

Сетевые динамические модели. В динамической структурной мо­дели сетевого типа для каждой пары соседних состояний системы Сt-1 и Сt (t ϵ ) задается управляющее воздействие u(t), которое переводит систему из состояния Ct-l в состояние Ct. При этом оче­видно, что u(t) на каждом шаге траектории может принимать зна­чения из некоторого множества допустимых управляющих воздей­ствий на этом шаге

Ut: u(t)ϵUt. (2.1)

Таким образом, промежуточное состояние системы в некоторой точке t траектории ее развития записывается следующим образом

Сt=F(Ct-i,u(t)), t ϵ.

Обозначим через Ct множество всех состояний системы, в ко­торое можно ее перевести из начального состояния C0=CH за t ша­гов, используя управляющие воздействия u(t) ϵ Ut (t = 0,1, 2,..., t). Множество достижимости Сt определяется с помощью следующих рекуррентных соотношений:

Сt = {Ct: Сt = ƒ(Сt-1, и(t); и(t ϵUt; t = 0,1, 2,...,t}.

В задании на дальнейшее развитие или первоначальную разра­ботку системы указывается перечень допустимых ее конечных со­стояний, которые должны принадлежать некоторой области

СtϵС-Т. (2.2)

Управление U =(u(1), u(2),..., u{t),..., и(Т)) , состоящее из пошаговых управляющих воздействий, будет допустимым, если оно переводит систему из начального состояния Сн = С0 в конечное состояние Ск =СT , удовлетворяющее условию (2.2).

Выведем условия допустимости управления. Для этого рассмотрим последний Т-й шаг. В силу ограниченности множества UT перевести систему в состояние СT ϵ СT можно не из любого состоя­ния CT-1, а лишь из-T-1,Ст-1 G с,

Где, С - множество, удовлетворяющее условию

VCT=1 ϵ C-T-1зu(T)ϵUT: су =/(СУ-1, и(Т))&ст.

Иными словами, чтобы иметь возможность после Т-то шага-г управления выйти в область допустимых состояний С, необходимо-г-1 после (Г - 1) шагов находиться в области С.

Аналогичные множества допустимых состояний с" формируют­ся для всех остальных шагов t = 1, Т - 1.

Для достижения цели построения (развития) системы необхо­димо выполнение условий

С"ПС"*0, / = 1,Т. (2.3)

В противном случае цель системы не может быть достигнута. Для преодоления этого препятствия потребуется либо изменить-T цель системы, изменив тем самым С, либо расширить область возможных управляющих воздействий ut = 1,Т (в первую очередь на тех шагах траектории системы, на которых не выполняется усло­вие 2.3).

Пусть в результате преодоления (t -1) шагов система перешла в состояние Ct-1. Тогда множество допустимых управляющих воздей­ствий на t-м шаге определяется следующим образом:

U(t) = {u(t): Сt =ƒ(Сt-1, u(t) ϵс-t}. (2.4)

Объединяя (2.1) и (2.4), можно записать условия управляемого целенаправленного развития системы:

U(t)ϵ(t)nU(f) = 1д. (2.5)

Условия (2.5) означают, что управление должно быть возможным по его реализуемости и допустимым по обеспечению выхода системы в заданную область конечных состояний.

Таким образом, построение динамической структурной модели системы сетевого типа заключается в формализованном описании траектории ее развития путем задания промежуточных состояний системы и управляющих воздействий, последовательно переводя­ щих систему из начального состояния в конечное, соответствующее цели ее развития.

Поскольку из «начала» в «конец», как правило, существует множество путей, определение траектории развития системы можно вести по различным критериям (минимуму времени, максимуму эффекта, минимуму затрат и т.п.). Выбор критерия определяется целью моделирования системы.

Такой подход к моделированию динамических систем, как пра­вило, приводит к построению сетевых моделей разных типов (сете­вым графикам, технологическим сетям, сетям Петри и т.п.). Неза­висимо от типа сетевой модели их сущность заключается в том, что они описывают некоторую совокупность логически увязанных ра­бот, выполнение которых должно обеспечить построение некоторой системы (предприятия, дороги, политической партии) или перевода ее в другое состояние, соответствующее новым целям и требовани­ям времени.

Конкретизация динамических систем на этом, конечно, не за­канчивается. Приведенные модели, скорее всего, являются отдель­ными примерами реальных систем. В классе моделей динамических систем различают еще стационарные модели, мягкие и жесткие мо­дели, которые находят применение при исследовании конкретных прикладных проблем.

Контрольные вопросы

1. Приведите несколько определений системы и содержательную характеристику каждого из них.

2. В чем заключается разница между философской категорией и естественно-научным понятием?

3. Перечислите и проинтерпретируйте основные свойства системы.

4. Что такое эмерджентность системы?

5. Как соотносятся понятия «целостность» и «эмерджентность»?

6. В чем заключается сущность редукционизма? Чем он отличается от системного подхода?

7. В чем заключается разница между внешними и внутренними связями системы?

8. Какое свойство лежит в основе деления систем на открытые и закрытые (замкнутые)?

9. Приведите примеры закрытых экономических систем.

10. С помощью чего обеспечивается устойчивость системы?

11. В чем заключаются внутренняя и внешняя цели системы?

12. Как согласуются внутренняя и внешняя стратегии системы?

13. Как установить границы экономической системы?

14. Назовите причину неудовлетворительности прогнозов, получаемых в результате эконометрического моделирования.

15. Охарактеризуйте транзакционную среду экономической системы.

16. За счет чего открытые экономические системы сохраняют свои индивидуальные особенности?

17. Как (в каких шкалах) измеряются эмерджентные свойства сис-тем?

18. Назовите необходимое условие существования эмерджентного свойства системы.

19. В чем заключается сущность свойства целеустремленности. Как это свойство проявляется в экономических системах?

20. Приведите примеры реактивных, ответных, самонастраиваемых и активных экономических систем.

21. В чем заключается сущность свойства иерархичности экономических систем?

22. Эквивалентны ли понятия «уровень иерархии» и «страта»?

23. В чем заключается сущность свойства многомерности экономической системы?

24. Дайте системное определение понятию «компромисс».

25. Приведите практические примеры использования свойства многомерности при исследовании экономических систем.

26. В чем заключается сущность свойства множественности экономической системы?

27. Приведите примеры множественности функций экономической системы.

28. Как проявляется множественность структуры экономической системы?

29. Приведите примеры эквифинальности и мультифинальности экономических систем.

30. Перечислите причины контринтуитивного поведения экономи-ческих систем.

31. Какой классификационный признак положен в основу первич-ной классификации систем?

32. Назовите основные характеристики естественных систем. При-ведите примеры.

33. Назовите основные характеристики искусственных систем. Приведите примеры.

34. В чем заключается специфика социокультурных систем?

35. К какому классу первичных систем относятся экономические системы?

36. В какой мере естественные, технические и гуманитарные науки привлекаются к анализу экономических систем?

37. Разместите факторы в порядке убывания влияния на конфигурацию системы: внешняя среда, внутренние связи системы, связи системы с внешней средой, элементы системы.

38. Поясните, каким образом моральные ценности лица, принимающего решения, материализуются в реальной экономической системе.

39. Что представляет собой среда, в которой существуют и функционируют экономические системы?

40. Дайте определение экономической системы.

41. Какие классификационные признаки положены в основу пространственно-временной классификации экономических систем?