Корреляционный характеристик сигнал. Конспект лекции: Корреляция, автокорреляция, взаимная корреляция

2.6. Корреляционно-спектральный анализ детерминированных сигналов. Радиотехнические цепи и сигналы. Часть I

2.6. Корреляционно-спектральный анализ детерминированных сигналов

Во многих радиотехнических задачах часто возникает необходимость сравнения сигнала и его копии, сдвинутой на некоторое время. В частности такая ситуация имеет место в радиолокации, где отраженный от цели импульс поступает на вход приемника с задержкой во времени. Сравнение этих сигналов между собой, т.е. установление их взаимосвязи, при обработке позволяет определять параметры движения цели.

Для количественной оценки взаимосвязи сигнала и его сдвинутой во времени копии вводится характеристика

Которая называется автокорреляционной функцией (АКФ).

Для пояснения физического смысла АКФ приведем пример, где в качестве сигнала выступает прямоугольный импульс длительностью и амплитудой. На рис. 2.9 изображены импульс, его копия, сдвинутая на интервал времени и произведение . Очевидно, интегрирование произведения дает значение площади импульса, являющегося произведением . Это значение при фиксированном можно изобразить точкой в координатах. При изменении мы получим график автокорреляционной функции.

Найдем аналитическое выражение. Так как

то подставляя это выражение в (2.57), получим

Если осуществлять сдвижку сигнала влево, то аналогичными вычислениями нетрудно показать, что

Тогда объединяя (2.58) и (2.59), получим

Из рассмотренного примера можно сделать следующие важные выводы, распространяющиеся на сигналы произвольной формы:

1. Автокорреляционная функция непериодического сигнала с ростом убывает (необязательно монотонно для других видов сигналов). Очевидно, при АКФ также стремиться к нулю.

2. Своего максимального значения АКФ достигает при. При этом, равна энергии сигнала. Таким образом, АКФ является энергетической характеристикой сигнала. Как и следовало ожидать при сигнал и его копия полностью коррелированны (взаимосвязаны).

3. Из сравнения (2.58) и (2.59) следует, что АКФ является четной функцией аргумента, т.е.

Важной характеристикой сигнала является интервал корреляции . Под интервалом корреляции понимают интервал времени, при сдвижке на который сигнал и его копия становятся некоррелированными.

Математически интервал корреляции определяется следующим выражением

или поскольку – четная функция

На рис. 2.10 изображена АКФ сигнала произвольной формы. Если построить прямоугольник, по площади равный площади под кривой при положительных значениях (правая ветвь кривой), одна сторона которого равна, то вторая сторона будет соответствовать.

Найдем интервал корреляции для прямоугольного импульса. Подставляя (2.58) в (2.60) после несложных преобразований, получим:

что и следует из рис. 2.9.

По аналогии с автокорреляционной функцией степень взаимосвязи двух сигналов и оценивается взаимной корреляционной функцией (ВКФ)

Найдем взаимную корреляционную функцию двух сигналов: прямоугольного импульса с амплитудой и длительностью

и треугольного импульса той же амплитуды и длительности

Воспользовавшись (2.61) и вычисляя интегралы отдельно для и, получим:

Графические построения, иллюстрирующие вычисления ВКФ, приведены на рис. 2.11

Здесь пунктирными линиями показано исходное (при) положение треугольного импульса.

При выражение (2.61) преобразуется в (2.57). Отсюда следует, что АКФ является частным случаем ВКФ при полностью совпадающих сигналах.

Отметим основные свойства ВКФ.

1. Так же, как и автокорреляционная функция, ВКФ является убывающей функцией аргумента. При ВКФ стремиться к нулю.

2. Значения взаимной корреляционной функции при произвольных представляют собой значения взаимной энергии (энергии взаимодействия) сигналов и.

3. При взаимная корреляционная функция (в отличие от автокорреляционной) не всегда достигает максимума.

4. Если сигналы и описываются четными функциями времени, то ВКФ тоже четна. Если же хотя бы один из сигналов описывается нечетной функцией, то ВКФ так же нечетна. Первое утверждение легко доказать, если вычислить ВКФ двух прямоугольных импульсов противоположной полярности

Взаимная корреляционная функция таких сигналов

является четной функцией аргумента.

Что же касается второго утверждения рассмотренный пример вычисления ВКФ прямоугольного и треугольного импульсов доказывает его.

В некоторых прикладных задачах радиотехники используют нормированную АКФ

и нормированную ВКФ

где и – собственные энергии сигналов и. При значение нормированной ВКФ называют коэффициентом взаимной корреляции . Если , то коэффициент взаимной корреляции

Очевидно, значения лежат в пределах от -1 до +1. Если сравнить (2.65) с (1.32), то можно убедиться, что коэффициент взаимной корреляции соответствует значению косинуса угла между векторами и при геометрическом представлении сигналов.

Рассчитаем коэффициент взаимной корреляции для рассмотренных выше примеров. Так как энергия сигнала прямоугольного импульса составляет

а треугольного импульса

то коэффициент взаимной корреляции в соответствии с (2.62) и (2.65) будет равен. Что же касается второго примера, то для двух прямоугольных импульсов одинаковой амплитуды и длительности, но противоположной полярности, .

Экспериментально АКФ и ВКФ могут быть получены с помощью устройства, структурная схема которого изображена на рис. 2.12

При снятии АКФ на один из входов перемножителя поступает сигнал, а на второй – этот же сигнал, но задержанный на время. Сигнал, пропорциональный произведению , подвергается операции интегрирования. На выходе интегратора формируется напряжение, пропорциональное значению АКФ при фиксированном. Изменяя время задержки, можно построить АКФ сигнала.

Для экспериментального построения ВКФ сигнал подается на один из входов перемножителя, а сигнал – на устройство задержки (входящие цепи показаны пунктиром). В остальном, устройство работает аналогичным образом. Отметим, что описанное устройство называется коррелятором и широко используется в различных радиотехнических системах для приема и обработки сигналов.

До сих пор мы проводили корреляционный анализ непериодических сигналов, обладающих конечной энергией. Вместе с тем, необходимость подобного анализа часто возникает и для периодических сигналов, которые теоретически обладают бесконечной энергией, но конечной средней мощностью. В этом случае АКФ и ВКФ вычисляются усреднением по периоду и имеют смысл средней мощности (собственной или взаимной соответственно). Таким образом, АКФ периодического сигнала:

а взаимная корреляционная функция двух периодических сигналов с кратными периодами:

где – наибольшее значение периода.

Найдем автокорреляционную функцию гармонического сигнала

где – круговая частота, – начальная фаза.

Подставляя это выражение в (2.66) и вычисляя интеграл с использованием известного тригонометрического соотношения:

Из рассмотренного примера можно сделать следующие выводы, справедливые для любого периодического сигнала.

1. АКФ периодического сигнала является периодической функцией с тем же периодом.

2. АКФ периодического сигнала является четной функцией аргумента.

3. При значение представляет собой среднюю мощность, которая выделяется на сопротивлении в 1 Ом и имеет размеренность.

4. АКФ периодического сигнала не содержит информации о начальной фазе сигнала.

Следует также отметить, что интервал корреляции периодического сигнала.

А теперь вычислим взаимную корреляционную функцию двух гармонических сигналов одинаковой частоты, но отличающихся амплитудами и начальными фазами

Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.

Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:

B s (t) = s(t) s(t+t) dt. (2.25)

Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала:

B s (0) =s(t) 2 dt = E s .

Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (2.25):

B s (t) =s(t-t) s(t) dt = s(t) s(t-t) dt = B s (-t). (2.25")

С учетом четности, графическое представление АКФ производится только для положительных значений t. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак +t в выражении (2.25) означает, что при увеличении значений t копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t и уходит за 0, что требует соответствующего продления сигнала в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания t, как правило, много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.25) функции s(t-t) вместо s(t+t).

По мере увеличения значения величины сдвига t для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается и скалярное произведение стремятся к нулю.

Пример. На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.

При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤t≤T сигналы перекрываются на интервале от t до Т. Скалярное произведение:

B s (t) =A 2 dt = A 2 (T-t).

При сдвиге копии импульса влево, при -T≤t

B s (t) = A 2 dt = A 2 (T+t).

При |t| > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).

Обобщая вычисления, можем записать:

В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах периода:

B s (t) = (1/Т)s(t) s(t-t) dt.

При t=0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т. АКФ периодических сигналов также является периодической функцией с тем же периодом Т. Для однотонального гармонического сигнала это очевидно. Первое максимальное значение АКФ будет соответствовать t=0. При сдвиге копии сигнала на четверть периода относительно оригинала подынтегральные функции становятся ортогональными друг другу (cos w o (t-t) = cos (w o t-p/2) º sin w o t) и дают нулевое значение АКФ. При сдвиге на t=T/2 копия сигнала по направлению становится противоположной самому сигналу и скалярное произведение достигает минимального значения. При дальнейшем увеличении сдвига начинается обратный процесс увеличения значений скалярного произведения с пересечением нуля при t=3T/2 и повторением максимального значения при t=T=2p/w o (cos w o t-2p копии º cos w o t сигнала). Аналогичный процесс имеет место и для периодических сигналов произвольной формы (рис. 2.11).

Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств АКФ.

Для сигналов, заданных на определенном интервале, вычисление АКФ производится с нормировкой на длину интервала:

B s (t) =s(t) s(t+t) dt. (2.26)

Автокорреляция сигнала может оцениваться и функцией автокорреляционных коэффициентов, вычисление которых производится по формуле (по центрированным сигналам):

r s (t) = cos j(t) = ás(t), s(t+t)ñ /||s(t)|| 2 .

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.25), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время t:

B 12 (t) = s 1 (t) s 2 (t+t) dt. (2.27)

При замене переменной t = t-t в формуле (2.4.3), получаем:

B 12 (t) =s 1 (t-t) s 2 (t) dt =s 2 (t) s 1 (t-t) dt = B 21 (-t)

Рис. 2.12. Сигналы и ВКФ

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.12, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.27) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)).

При t=0 сигналы ортогональны и значение B 12 (t)=0. Максимум В 12 (t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t). При вычислении значений B 21 (-t) аналогичный процесс выполняется последовательным сдвигом сигнала s1(t) вправо по временной оси с постепенным увеличением отрицательных значений t, а соответственно значения B 21 (-t) являются зеркальным (относительно оси t=0) отображением значений B 12 (t), и наоборот. На рис. 2.13 это можно видеть наглядно.

Рис. 2.13. Сигналы и ВКФ

Таким образом, для вычисления полной формы ВКФ числовая ось t должна включать отрицательные значения, а изменение знака t в формуле (2.27) равносильно перестановке сигналов.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.

Функция коэффициентов взаимной корреляции двух сигналов вычисляется по формуле (по центрированным сигналам):

r sv (t) = cos j(t) = ás(t), v(t+t)ñ /||s(t)|| ||v(t)||. (2.28)

Значение коэффициентов взаимной корреляции может изменяться от -1 до 1.

9 Корреляционный анализ. Корреляционная функция, ее свойства. Вычисление корреляционной функции одиночного импульса и периодического сигнала

Наряду со спектральным анализом корреляционный анализ играет большую роль в теории сигналов. Его смысл состоит в измерении степени сходства (различия) сигналов. Для этого служит корреляционная ф-ция.

КФ представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала, сдвинутых друг отн. друга на время.

Чем больше значение КФ, тем сильнее сходство. КФ обладает следующими свойствами:

1. Значение КФ при

равно энергии сигнала (интегралу от его квадрата)

2. Является четной функцией

3. Значение КФ при

4. С ростом абс. значения КФ сигнала с конечной энергией затухает

5. Если сигнал является ф-цией напряжения от времени, то размерность его КФ [

]

В случае периодического сигнала (с периодом Т) КФ вычисляют, усредняя произведение сдвинутых копий в пределах одного периода:

Набор свойств такой КФ изменяется:

1. Значение КФ при

равно средней мощности сигнала

2. Свойство четности сохраняется.

3. Значение КФ при

является максимально возможным.

4. КФ является периодической ф-цией (с тем же периодом, что и сигнал)

5. Если сигнал не содержит дельта-функций, то его КФ непрерывна.

6. Если сигнал является зависимостью U(t), то размерность КФ [

]

КФ гармонического сигнала является гармонической ф-цией, которая не зависит от начальной фазы сигнала.

10 Взаимная корреляционная функция, ее свойства. Вычисление взаимной корреляционной функции сигналов

Взаимная корреляционная функция (ВКФ)- функция, показывающая степень сходства для сдвинутых во времени 2-ух различных сигналов.

Общий вид:

Для примера вычислим ВКФ 2-ух функций:

При

При

При

Объединяя результаты, можно записать:

Свойства ВКФ:

1)

2)

3)

4) Если функции S 1 (t ) и S 2 (t ) не содержат дельта-функций, то их ВКФ не может иметь разрывов.

5) Если в качестве сигнала выступает функция U (t ) , то размерность ВКФ

11 Случайные процессы. Реализация случайного процесса. Законы распределения случайных процессов

Иногда на практике приходится иметь дело с явлениями, протекание которых во времени непредсказуемо и в каждый момент времени описывается случайной величиной. Такие явления называются случайными процессами. Случайным процессом называется функция ζ(t ) неслучайного аргумента t (как правило, времени), которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Например, температура в течение суток, регистрируемая самописцем. Значения, принимаемые процессом ζ(t ) в определенные моменты времени называются состояниями , а множество всех состояний – фазовым пространством случайного процесса. В зависимости от количества возможных состояний случайного процесса его фазовое пространство может быть дискретным или непрерывным. Если случайный процесс может изменять свое состояние лишь в определенные моменты времени, то такой процесс называется случайным процессом с дискретным временем ; а если в произвольные, то – процессом с непрерывным временем .

Случайный процесс ζ(t ) называется стационарным , если распределение вероятностей его возможных состояний не изменяется во времени. Например, при ежесекундном подбрасывании игральной кости распределение вероятностей состояний соответствующего случайного процесса (рис.44, б ) не зависит (не изменяется) от времени (при этом все состояния ζ(t ) равновозможны). В противоположность этому, случайный процесс, характеризующий температуру окружающей среды, не является стационарным, т.к. для лета характерны более высокие температуры, чем для зимы.

Распределение вероятностей состояний стационарного случайного процесса называется стационарным распределением .

Существуют различные законы распределения среди них Равномерное, Гаусовское (нормальное)

Равномерное : пусть некторая случ величина х может принимать значения х 1

P(x)=система(0 при x х 2)

Функцию распределения найдем путем интегрирования

F(x)= система(0 при x x 2)

Гауссово (нормальное) распределение . В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности

Согласно равенству (13.5), корреляционная функция отклика нелинейного устройства может быть следующим образом выражена через переходную функцию этого устройства:

Двойной интеграл по равен, как это видно из сравнения с равенством (4.25), совместной характеристической функции величин записанной в виде функции комплексных переменных. Следовательно,

Выражение (13.40) является основной формулой при анализе случайных воздействий на нелинейные устройства методом преобразований. Оставшаяся часть этой главы посвящена вычислению этого выражения для различных типов устройств и различных видов воздействий на них.

Во многих задачах воздействие, подаваемое на вход системы, представляет собой сумму полезного сигнала и шума:

где - выборочные функции статистически независимых вероятностных процессов. В таких случаях совместная характеристическая функция воздействия равна произведению характеристических функций сигнала и шума и равенство (13.40) принимает

где - совместная характеристическая функция величин - совместная характеристическая функция величин и

Гауссовский шум на входе. Если шум на входе устройства является выборочной функцией действительного гауссовского вероятностного процесса с нулевым математическим ожиданием, то, согласно равенству (8.23),

где Корреляционная функция отклика в таком случае принимает вид

Если теперь могут быть представлены в виде произведений функции от на функцию от или в виде сумм таких произведений, то двойной интеграл в последнем выражении может быть вычислен как произведение интегралов. Тот факт, что экспоненциальная функция может быть представлена через произведения функций от и вытекает из разложения ее в степенной ряд

Поэтому корреляционная функция отклика нелинейного устройства при подале на вход его гауссовского шума может быть записана

Синусоидальные сигналы.

Предположим теперь, что сигнал на входе устройства представляет собой модулированную синусоиду, т. е. что

где - выборочная функция низкочастотного вероятностного процесса (т. е. такого, у которого спектральная плотность отлична от нуля лишь в диапазоне частот, примыкающем к нулевой частоте и узком по сравнению с и где случайная величина распределена равномерно в интервале и не зависит от модулирующего сигнала и от шума. Характеристическая функция такого сигнала равна

Разлагая экспоненту формуле Якоби-Энгера [выражение (13.20)], получаем

Поскольку

где мы получаем, что для амплитудно-модулированного синусоидального сигнала

Корреляционную функцию отклика нелинейного устройства при подаче на вход его синусоидального сигнала и гауссовского шума можно теперь найти, подставляя (13.47) в (13.45). Определим функцию

где и корреляционную функцию

где осреднение производится по модулирующему сигналу; тогда корреляционная функция отклика будет равна

Если как модулирующий сигнал, так и шум стационарны, то выражение (13.50) принимает вид

Если входной сигнал представляет собой немодулированную синусоиду

ибо в этом случае коэффициенты постоянны и равны друг другу.

Составляющие сигнала и шума на выходе.

Рассмотрим сейчас случай, когда шум на входе имеет форму смодулированной синусоиды. В этом случае корреляционная функция на выходе задается выражением (13.52). Разложим это выражение следующим образом:

рассмотрим отдельные его слагаемые. Первое слагаемое соответствует постоянной составляющей на выходе устройства. Следующая группа слагаемых отвечает периодической части отклика и обусловлена в основном взаимодействием входного сигнала с самим собой. Остальные слагаемые соответствуют случайным колебаниям отклика, т. е. шуму на выходе. Те из

этих оставшихся слагаемых, для которых обусловлены главным образом взаимодействием входного шума с самим собой, а те из них, для которых взаимодействием сигнала и шума на входе.

Представим отклик нелинейного устройства в виде суммы среднего значения, периодических составляющих и случайной составляющей:

Тогда корреляционная функция отклика может быть записана в виде

где Сравнивая равенства (13.53) и (13.55), мы видим, что среднее значение отклика и амплитуды его периодических составляющих могут быть выражены непосредственно через коэффициенты

Кроме того, корреляционною функцию случайной части отклика можно записать в виде

где мы положим по определению в соответствии с (13.50)

Следует отметить, что, строго говоря, все эти слагаемые являются функциями процесса, модулирующего входной сигнал.

Решение вопроса о том, какие из -слагаемых в (13.62) определяют полезный выходной сигнал, зависит, конечно, от назначения нелинейного устройства. Если, например, устройство используется как детектор, то полезной является низкочастотная часть выходного сигнала. В этом случае полезному сигналу соответствует часть корреляционной функции, определяемая равенством

С другой стороны, если устройство используется как нелинейный усилитель, то

ибо в этом случае полезной является составляющая сигнала, сосредоточенная около несущей частоты входного сигнала

Литература: [Л.1], с 77-83

[Л.2], с 22-26

[Л.3], с 39-43

Во многих радиотехнических задачах часто возникает необходимость сравнения сигнала и его копии, сдвинутой на некоторое время

При снятии АКФ на один из входов перемножителя поступает сигнал, а на второй – этот же сигнал, но задержанный на время. Сигнал, пропорциональный произведению , подвергается операции интегрирования. На выходе интегратора формируется напряжение, пропорциональное значению АКФ при фиксированном. Изменяя время задержки, можно построить АКФ сигнала.

Для экспериментального построения ВКФ сигнал подается на один из входов перемножителя, а сигнал – на устройство задержки (входящие цепи показаны пунктиром). В остальном, устройство работает аналогичным образом. Отметим, что описанное устройство называется коррелятором и широко используется в различных радиотехнических системах для приема и обработки сигналов.

До сих пор мы проводили корреляционный анализ непериодических сигналов, обладающих конечной энергией. Вместе с тем, необходимость подобного анализа часто возникает и для периодических сигналов, которые теоретически обладают бесконечной энергией, но конечной средней мощностью. В этом случае АКФ и ВКФ вычисляются усреднением по периоду и имеют смысл средней мощности (собственной или взаимной соответственно). Таким образом, АКФ периодического сигнала:

, (2.66)

а взаимная корреляционная функция двух периодических сигналов с кратными периодами:

, (2.67)

где – наибольшее значение периода.

Найдем автокорреляционную функцию гармонического сигнала

,

где – круговая частота, – начальная фаза.

Подставляя это выражение в (2.66) и вычисляя интеграл с использованием известного тригонометрического соотношения:

.

Из рассмотренного примера можно сделать следующие выводы, справедливые для любого периодического сигнала.

1. АКФ периодического сигнала является периодической функцией с тем же периодом.

2. АКФ периодического сигнала является четной функцией аргумента.

3. При значение представляет собой среднюю мощность, которая выделяется на сопротивлении в 1 Ом и имеет размеренность.

4. АКФ периодического сигнала не содержит информации о начальной фазе сигнала.

Следует также отметить, что интервал корреляции периодического сигнала.

А теперь вычислим взаимную корреляционную функцию двух гармонических сигналов одинаковой частоты, но отличающихся амплитудами и начальными фазами

и.

Воспользовавшись (2.67) и проводя несложные вычисления, получим

,

где – разность начальных фаз сигналов и.

Таким образом, взаимная корреляционная функция двух рассматриваемых сигналов содержит информацию о разности начальных фаз. Это важное свойство широко используется при построении различных радиотехнических устройств, в частности, устройств синхронизации некоторых систем радиоавтоматики и других.

Так как и – вещественные и четные функции, выражения (2.69) и (2.70) можно записать соответственно в виде

, (2.71)

. (2.72)

Рассмотренный корреляционно-спектральный анализ позволяет дать еще одну трактовку эффективной ширины спектра. Если известен энергетический спектр, то эффективная ширина спектра определяется так:

. (2.73)

Иными словами представляет собой сторону прямоугольника по площади равного площади под кривой одностороннего спектра, вторая сторона которого равна (рис.2.13). Очевидно, произведение эффективной ширины энергетического спектра на величину интервала корреляции есть величина постоянная

.

Таким образом, и в этом случае мы сталкиваемся с проявлением принципа неопределенности: чем больше интервал корреляции, тем меньше ширина энергетического спектра, и наоборот.

Контрольные вопросы к главе 2

1. Что такое система базисных тригонометрических функций?

2. Как можно записать тригонометрический ряд Фурье?

3. Дайте определение амплитудного и фазового спектра периодического сигнала.

4. Какой характер носит спектр последовательности прямоугольных импульсов?

5. Чем отличается спектр одиночного импульса от спектра периодической последовательности импульсов?

6. Запишите прямое и обратное преобразование Фурье.

7. Как найти эффективную длительность и эффективную ширину спектра прямоугольного сигнала?

8. Что представляет собой спектр сигнала в виде дельта-функции?

9. Дайте определение автокорреляционной функции детерминированного сигнала.

10. Что такое взаимная корреляционная функция двух сигналов?

11. Как найти коэффициент взаимной корреляции?

12. Какими свойствами обладает автокорреляционная функция периодического сигнала?

СИГНАЛЫ и ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Signals and linear systems. Correlation of signals

Тема 6. КОРРЕЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ

Предельный страх и предельный пыл храбрости одинаково расстраивают желудок и вызывают понос.

Мишель Монтень. Французский юрист-мыслитель, XVI в.

Вот это номер! Две функции имеют стопроцентную корреляцию с третьей и ортогональны друг другу. Ну и шуточки были у Всевышнего при сотворении Мира.

Анатолий Пышминцев. Новосибирский геофизик Уральской школы, ХХ в.

1. Автокорреляционные функции сигналов. Понятие автокорреляционных функций (АКФ). АКФ сигналов, ограниченных во времени. АКФ периодических сигналов. Функции автоковариации (ФАК). АКФ дискретных сигналов. АКФ зашумленных сигналов. АКФ кодовых сигналов.

2. Взаимнокорреляционные функции сигналов (ВКФ). Взаимная корреляционная функция (ВКФ). Взаимная корреляция зашумленных сигналов. ВКФ дискретных сигналов. Оценка периодических сигналов в шуме. Функция взаимных корреляционных коэффициентов.

3. Спектральные плотности корреляционных функций. Спектральная плотность АКФ. Интервал корреляции сигнала. Спектральная плотность ВКФ. Вычисление корреляционных функций при помощи БПФ.

введение

Корреляция (correlation), и ее частный случай для центрированных сигналов – ковариация, является методом анализа сигналов. Приведем один из вариантов использования метода. Допустим, что имеется сигнал s(t), в котором может быть (а может и не быть) некоторая последовательность x(t) конечной длины Т, временное положение которой нас интересует. Для поиска этой последовательности в скользящем по сигналу s(t) временном окне длиной Т вычисляются скалярные произведения сигналов s(t) и x(t). Тем самым мы "прикладываем" искомый сигнал x(t) к сигналу s(t), скользя по его аргументу, и по величине скалярного произведения оцениваем степень сходства сигналов в точках сравнения.

Корреляционный анализ дает возможность установить в сигналах (или в рядах цифровых данных сигналов) наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой переменной, то есть, когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сигнала) связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).

В функциональном пространстве сигналов эта степень связи может выражаться в нормированных единицах коэффициента корреляции, т. е. в косинусе угла между векторами сигналов, и, соответственно, будет принимать значения от 1 (полное совпадение сигналов) до -1 (полная противоположность) и не зависит от значения (масштаба) единиц измерений .

В варианте автокорреляции (autocorrelation) по аналогичной методике производится определение скалярного произведения сигнала s(t) с собственной копией, скользящей по аргументу. Автокорреляция позволяет оценить среднестатистическую зависимость текущих отсчетов сигнала от своих предыдущих и последующих значений (так называемый радиус корреляции значений сигнала), а также выявить в сигнале наличие периодически повторяющихся элементов.

Особое значение методы корреляции имеют при анализе случайных процессов для выявления неслучайных составляющих и оценки неслучайных параметров этих процессов.

Заметим, что в терминах "корреляция" и "ковариация" существует некоторая путаница. В математической литературе термин "ковариация" применяется к центрированным функциям, а "корреляция" – к произвольным. В технической литературе , и особенно в литературе по сигналам и методам их обработки, часто применяется прямо противоположная терминология. Принципиального значения это не имеет, но при знакомстве с литературными источниками стоит обращать внимание на принятое назначение данных терминов.

6.1. Автокорреляционные функции сигналов .

Понятие автокорреляционных функций сигналов . Автокорреляционная функция (АКФ, CF - correlation function) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, выявления в сигнале характера и параметров взаимной временной связи отсчетов, что всегда имеет место для периодических сигналов, а также интервала и степени зависимости значений отсчетов в текущие моменты времени от предыстории текущего момента. АКФ определяется интегралом от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cos j(t). (6.1.1)

Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):

Bs(0) =s(t)2 dt = Es.

АКФ относится к четным функциям, в чем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (6.1.1):

Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

Максимум АКФ, равный энергии сигнала при t=0, всегда положителен, а модуль АКФ при любом значении временного сдвига не превосходит энергии сигнала. Последнее прямо вытекает из свойств скалярного произведения (как и неравенство Коши-Буняковского):

ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t),

cos j(t) = 1 при t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,

cos j(t) < 1 при t ¹ 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t+t)||×cos j(t) < Es.

В качестве примера на рис. 6.1.1 приведены два сигнала – прямоугольный импульс и радиоимпульс одинаковой длительности Т, и соответствующие данным сигналам формы их АКФ. Амплитуда колебаний радиоимпульса установлена равной амплитуды прямоугольного импульса, при этом энергии сигналов также будут одинаковыми, что подтверждается равными значениями центральных максимумов АКФ. При конечной длительности импульсов длительности АКФ также конечны, и равны удвоенным значениям длительности импульсов (при сдвиге копии конечного импульса на интервал его длительности как влево, так и вправо, произведение импульса со своей копией становится равным нулю). Частота колебаний АКФ радиоимпульса равна частоте колебаний заполнения радиоимпульса (боковые минимумы и максимумы АКФ возникают каждый раз при последовательных сдвигах копии радиоимпульса на половину периода колебаний его заполнения).

С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений t. На практике сигналы обычно задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т. Знак +t в выражении (6.1.1) означает, что при увеличении значений t копия сигнала s(t+t) сдвигается влево по оси t и уходит за 0. Для цифровых сигналов это требует соответствующего продления данных в область отрицательных значений аргумента. А так как при вычислениях интервал задания t обычно много меньше интервала задания сигнала, то более практичным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т. е. применение в выражении (6.1.1) функции s(t-t) вместо s(t+t).

Bs(t) = s(t) s(t-t) dt. (6.1.1")

Для финитных сигналов по мере увеличения значения величины сдвига t временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:

АКФ, вычисленная по центрированному значению сигнала s(t), представляет собой автоковариационную функцию сигнала:

Cs(t) = dt, (6.1.2)

где ms – среднее значение сигнала. Ковариационные функции связаны с корреляционным функциями достаточно простым соотношением:

Cs(t) = Bs(t) - ms2.

АКФ сигналов, ограниченных во времени. На практике обычно исследуются и анализируются сигналы, заданные на определенном интервале. Для сравнения АКФ сигналов, заданных на различных временных интервалах, практическое применение находит модификация АКФ с нормировкой на длину интервала. Так, например, при задании сигнала на интервале :

Bs(t) =s(t) s(t+t) dt. (6.1.3)

АКФ может быть вычислена и для слабозатухающих сигналов с бесконечной энергией, как среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии при устремлении интервала задания сигнала к бесконечности:

Bs(t) =. (6.1.4)

АКФ по данным выражениям имеет физическую размерность мощности, и равна средней взаимной мощности сигнала и его копии в функциональной зависимости от сдвига копии.

АКФ периодических сигналов. Энергия периодических сигналов бесконечна, поэтому АКФ периодических сигналов вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения сигнала и его сдвинутой копии в пределах периода:

Bs(t) = (1/Т)s(t) s(t-t) dt. (6.1.5)

Математически более строгое выражение:

Bs(t) =.

При t=0 значение нормированной на период АКФ равно средней мощности сигналов в пределах периода. При этом АКФ периодических сигналов является периодической функцией с тем же периодом Т. Так, для сигнала s(t) = A cos(w0t+j0) при T=2p/w0 имеем:

Bs(t) = A cos(w0t+j0) A cos(w0(t-t)+j0) = (A2/2) cos(w0t). (6.1.6)

Полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств АКФ. С помощью функций автокорреляции можно проверять наличие периодических свойств в любых произвольных сигналах. Пример автокорреляционной функции периодического сигнала приведен на рис. 6.1.2.

Функции автоковариации (ФАК) вычисляются аналогично, по центрированным значениям сигнала. Замечательной особенностью этих функций являются их простые соотношения с дисперсией ss2 сигналов (квадратом стандарта - среднего квадратического отклонения значений сигнала от среднего значения). Как известно, значение дисперсии равно средней мощности сигналов, откуда следует:

|Cs(t)| ≤ ss2, Cs(0) = ss2 º ||s(t)||2. (6.1.7)

Значения ФАК, нормированные на значение дисперсии, представляют собой функцию автокорреляционных коэффициентов:

rs(t) = Cs(t)/Cs(0) = Cs(t)/ss2 º cos j(t). (6.1.8)

Иногда эту функцию называют "истинной" автокорреляционной функцией. В силу нормировки ее значения не зависят от единиц (масштаба) представления значений сигнала s(t) и характеризуют степень линейной связи между значениями сигнала в зависимости от величины сдвига t между отсчетами сигнала. Значения rs(t) º cos j(t) могут изменяться от 1 (полная прямая корреляция отсчетов) до -1 (обратная корреляция).

На рис. 6.1.3 приведен пример сигналов s(k) и s1(k) = s(k)+шум с соответствующими этим сигналам коэффициентами ФАК - rs и rs1. Как видно на графиках, ФАК уверенно выявила наличие периодических колебаний в сигналах. Шум в сигнале s1(k) понизил амплитуду периодических колебаний без изменения периода. Это подтверждает график кривой Cs/ss1, т. е. ФАК сигнала s(k) с нормировкой (для сопоставления) на значение дисперсии сигнала s1(k), где наглядно можно видеть, что шумовые импульсы при полной статистической независимости своих отсчетов вызвали увеличение значения Сs1(0) по отношению к значению Cs(0) и несколько "размыли" функцию коэффициентов автоковариации. Это вызвано тем, что значение rs(t) шумовых сигналов стремится к 1 при t ® 0 и флюктуирует относительно нуля при t ≠ 0, при этом амплитуды флюктуаций статистически независимы и зависят от количества выборок сигнала (стремятся к нулю при увеличении количества отсчетов).

АКФ дискретных сигналов. При интервале дискретизации данных Dt = const вычисление АКФ выполняется по интервалам Dt = Dt и обычно записывается, как дискретная функция номеров n сдвига отсчетов nDt:

Bs(nDt) = Dtsk×sk-n. (6.1.9)

Дискретные сигналы обычно задаются в виде числовых массивов определенной длины с нумерацией отсчетов к = 0,1,…К при Dt=1, а вычисление дискретной АКФ в единицах энергии выполняется в одностороннем варианте с учетом длины массивов. Если используется весь массив сигнала и число отсчетов АКФ равно числу отсчетов массива, то вычисление выполняется по формуле:

Bs(n) = sk×sk-n. (6.1.10)

Множитель K/(K-n) в данной функции является поправочным коэффициентом на постепенное уменьшение числа перемножаемых и суммируемых значений по мере увеличения сдвига n. Без этой поправки для нецентрированных сигналов в значениях АКФ появляется тренд суммирования средних значений. При измерениях в единицах мощности сигнала множитель К/(K-n) заменяется на множитель 1/(K-n).

Формула (6.1.10) применяется довольно редко, в основном для детерминированных сигналов с небольшим числом отсчетов. Для случайных и зашумленных сигналов уменьшение знаменателя (K-n) и числа перемножаемых отсчетов по мере увеличения сдвига приводит к нарастанию статистических флюктуаций вычисления АКФ. Большую достоверность в этих условиях обеспечивает вычисление АКФ в единицах мощности сигнала по формуле:

Bs(n) = sk×sk-n, sk-n = 0 при k-n < 0, (6.1.11)

т. е. с нормированием на постоянный множитель 1/K и с продлением сигнала нулевыми значениями (в левую сторону при сдвигах k-n или в правую сторону при использовании сдвигов k+n). Эта оценка является смещенной и имеет несколько меньшую дисперсию, чем по формуле (6.1.10). Разницу между нормировками по формулам (6.1.10) и (6.1.11) можно наглядно видеть на рис. 6.1.4.

Формулу (6.1.11) можно рассматривать, как усреднение суммы произведений, т. е. как оценку математического ожидания:

Bs(n) = M{sk sk-n} @ . (6.1.12)

Практически, дискретная АКФ имеет такие же свойства, как и непрерывная АКФ. Она также является четной, а ее значение при n = 0 равно энергии или мощности дискретного сигнала в зависимости от нормировки.

АКФ зашумленных сигналов . Зашумленный сигнал записывается в виде суммы v(k) = s(k)+q(k). В общем случае, шум не обязательно должен иметь нулевое среднее значение, и нормированная по мощности автокорреляционная функция цифрового сигнала, содержащая N – отсчетов, записывается в следующем виде:

Bv(n) = (1/N) ás(k)+q(k), s(k-n)+q(k-n)ñ =

= (1/N) [ás(k), s(k-n)ñ + ás(k), q(k-n)ñ + áq(k), s(k-n)ñ + áq(k), q(k-n)ñ] =

Bs(n) + M{sk qk-n} + M{qk sk-n} + M{qk qk-n}.

Bv(n) = Bs(n) + + + . (6.1.13)

При статистической независимости полезного сигнала s(k) и шума q(k) с учетом разложения математического ожидания

M{sk qk-n} = M{sk} M{qk-n} =

может использоваться следующая формула:

Bv(n) = Bs(n) + 2 + . (6.1.13")

Пример зашумленного сигнала и его АКФ в сопоставлении с незашумленным сигналом приведен на рис. 6.1.5.

Из формул (6.1.13) следует, что АКФ зашумленного сигнала состоит из АКФ сигнальной компоненты полезного сигнала с наложенной затухающей до значения 2+шумовой функцией. При больших значениях K, когда → 0, имеет место Bv(n) » Bs(n). Это дает возможность не только выделять по АКФ периодические сигналы, практически полностью скрытые в шуме (мощность шумов много больше мощности сигнала), но и с высокой точностью определять их период и форму в пределах периода, а для одночастотных гармонических сигналов – и их амплитуду с использованием выражения (6.1.6).

Кодовые сигналы являются разновидностью дискретных сигналов. На определенном интервале кодового слова М×Dt они могут иметь только два амплитудных значения: 0 и 1 или 1 и –1. При выделении кодов на существенном уровне шумов форма АКФ кодового слова имеет особое значение. С этой позиции наилучшими считаются такие коды, значения боковых лепестков АКФ которых минимальны по всей длине интервала кодового слова при максимальном значении центрального пика. К числу таких кодов относится код Баркера, приведенный в таблице 6.1. Как видно из таблицы, амплитуда центрального пика кода численно равна значению М, при этом амплитуда боковых осцилляций при n ¹ 0 не превышает 1.

6.2. Взаимные корреляционные функции сигналов .

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (6.1.1) автокорреляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем следующее скалярное произведение сигналов:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. (6.2.1)

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:

|Bsu(t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.

При замене переменной t = t-t в формуле (6.2.1), получаем:

Bsu(t) =s(t-t) u(t) dt = u(t) s(t-t) dt = Bus(-t).

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, Bsu(t) ¹ Bsu(-t), и значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0.

Это можно наглядно видеть на рис. 6.2.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (6.2.1) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)). При t=0 сигналы ортогональны и значение B12(t)=0. Максимум В12(t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t).

Одни и те же значения ВКФ по формулам (6.2.1) и (6.2.1") наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал t сигнала u(t) относительно s(t) вправо по оси ординат и сигнала s(t) относительно сигнала u(t) влево, т. е. Bsu(t) = Bus(-t).

На рис. 6.2.2 приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t). Все сигналы имеют одинаковую длительность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь "перекрытия" сигналов максимальна при t=0, что и фиксируется функцией Bsu. Вместе с тем функция Bsu резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) для симметричной формы s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака t при увеличения значения t от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция Bsv на рис. 6.2.2. Если поменять местами выражения функций в (6.2.1), то новая функция Bvs будет зеркально повернутой относительно t=0 функцией Bsv.

С учетом этих особенностей полное ВКФ вычисляется, как правило, отдельно для положительных и отрицательных запаздываний:

Bsu(t) =s(t) u(t+t) dt. Bus(t) =u(t) s(t+t) dt. (6.2.1")

Взаимная корреляция зашумленных сигналов . Для двух зашумленных сигналов u(t) = s1(t)+q1(t) и v(t) = s2(t)+q2(t), применяя методику вывода формул (6.1.13) с заменой копии сигнала s(t) на сигнал s2(t), нетрудно вывести формулу взаимной корреляции в следующем виде:

Buv(t) = Bs1s2(t) + Bs1q2(t) + Bq1s2(t) + Bq1q2(t). (6.2.2)

Последние три члена в правой части (6.2.2) затухают до нуля при увеличении t. При больших интервалах задания сигналов выражение может быть записано в следующей форме:

Buv(t) = Bs1s2(t) + + + . (6.2.3)

При нулевых средних значениях шумов и статистической независимости от сигналов имеет место:

Buv(t) → Bs1s2(t).

ВКФ дискретных сигналов. Все свойства ВКФ аналоговых сигналов действительны и для ВКФ дискретных сигналов, при этом для них действительны и особенности дискретных сигналов, изложенные выше для дискретных АКФ (формулы 6.1.9-6.1.12). В частности, при Dt = const =1 для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К:

Bxy(n) = xk yk-n. (6.2.4)

При нормировании в единицах мощности:

Bxy(n) = xk yk-n @ . (6.2.5)

Оценка периодических сигналов в шуме . Зашумленный сигнал можно оценить по взаимной корреляции с "эталонным" сигналом методом проб и ошибок с настройкой функции взаимной корреляции до максимального значения.

Для сигнала u(k)=s(k)+q(k) при статистической независимости шума и → 0 функция взаимной корреляции (6.2.2) с шаблоном сигнала p(k) при q2(k)=0 принимает вид:

Bup(k) = Bsp(k) + Bqp(k) = Bsp(k) + .

А поскольку → 0 при увеличении N, то Bup(k) → Bsp(k). Очевидно, что функция Bup(k) будет иметь максимум, когда p(k) = s(k). Меняя форму шаблона p(k) и добиваясь максимизации функции Bup(k), можно получить оценку s(k) в виде оптимальной формы p(k).

Функция взаимных корреляционных коэффициентов (ВКФ) является количественным показателем степени сходства сигналов s(t) и u(t). Аналогично функции автокорреляционных коэффициентов, она вычисляется через центрированные значения функций (для вычисления взаимной ковариации достаточно центрировать только одну из функций), и нормируется на произведение значений стандартов функций s(t) и v(t):

rsu(t) = Csu(t)/sssv. (6.2.6)

Интервал изменения значений корреляционных коэффициентов при сдвигах t может изменяться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция). При сдвигах t, на которых наблюдаются нулевые значения rsu(t), сигналы независимы друг от друга (некоррелированны). Коэффициент взаимной корреляции позволяет устанавливать наличие связи между сигналами вне зависимости от физических свойств сигналов и их величины.

При вычислении ВКФ зашумленных дискретных сигналов ограниченной длины с использованием формулы (6.2.4) имеется вероятность появления значений |rsu(n)| > 1.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода при изучении характеристик систем.

6.3. Спектральные плотности корреляционных функций .

Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых соображений.

В соответствии с выражением (6.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного произведения сигнала и его копии, сдвинутой на интервал t, при -¥ < t < ¥:

Bs(t) = ás(t), s(t-t)ñ.

Скалярное произведение может быть определено через спектральные плотности сигнала и его копии, произведение которых представляет собой спектральную плотность взаимной мощности:

ás(t), s(t-t)ñ = (1/2p)S(w) St*(w) dw.

Смещение сигнала по оси абсцисс на интервал t отображается в спектральном представлении умножением спектра сигнала на exp(-jwt), а для сопряженного спектра на множитель exp(jwt):

St*(w) = S*(w) exp(jwt).

С учетом этого получаем:

Bs(t) = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw =

= (1/2p)|S(w)|2 exp(jwt) dw. (6.3.1)

Но последнее выражение представляет собой обратное преобразование Фурье энергетического спектра сигнала (спектральной плотности энергии). Следовательно, энергетический спектр сигнала и его автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:

Bs(t) Û |S(w)|2 = Ws(w). (6.3.2)

Таким образом, спектральная плотность АКФ есть не что иное, как спектральная плотность мощности сигнала, которая, в свою очередь, может определяться прямым преобразованием Фурье через АКФ:

|S(w)|2 = Bs(t) exp(-jwt) dt. (6.3.3)

Последние выражение накладывает определенные ограничения на форму АКФ и методику их ограничения по длительности.

Энергетический спектр сигналов всегда положителен, мощность сигналов не может быть отрицательной. Следовательно, АКФ не может иметь формы прямоугольного импульса, т. к. преобразование Фурье прямоугольного импульса – знакопеременный интегральный синус. На АКФ не должно быть и разрывов первого рода (скачков), т. к. с учетом четности АКФ любой симметричный скачек по координате ±t порождает “разделение” АКФ на сумму определенной непрерывной функции и прямоугольного импульса длительностью 2t с соответствующим появлением отрицательных значений в энергетическом спектре. Пример последнего приведен на рис. 6.3.1 (графики функций приведены, как принято для четных функций, только своей правой частью).

АКФ достаточно протяженных сигналов обычно ограничиваются по размерам (исследуются ограниченные интервалы корреляции данных от –Т/2 до Т/2). Однако усечение АКФ, это умножение АКФ на прямоугольный селектирующий импульс длительностью Т, что в частотной области отображается сверткой фактического спектра мощности со знакопеременной функцией интегрального синуса sinc(wT/2). С одной стороны, это вызывает определенное сглаживание спектра мощности, что зачастую бывает полезным, например, при исследовании сигналов на значительном уровне шумов. Но, с другой стороны, может происходить и существенное занижение величины энергетических пиков, если в сигнале имеются какие-либо гармонические составляющие, а также появление отрицательных значений мощности на краевых частях пиков и скачков. Пример проявления данных факторов приведен на рис. 6.3.2.

Рис. 6.3.2. Вычисление энергетического спектра сигнала по АКФ разной длины.

Как известно, спектры мощности сигналов не имеют фазовой характеристики и по ним невозможно восстановление сигналов. Следовательно, АКФ сигналов, как временное представление спектров мощности, также не имеет информации о фазовых характеристиках сигналов и восстановление сигналов по АКФ невозможно. Сигналы одной формы, сдвинутые во времени, имеют одинаковые АКФ. Больше того, сигналы разной формы могут иметь сходные АКФ, если имеют близкие спектры мощности.

Перепишем уравнение (6.3.1) в следующей форме

s(t) s(t-t) dt = (1/2p)S(w) S*(w) exp(jwt) dw,

и подставим в это выражение значение t=0. Полученное равенство хорошо известно и называется равенством Парсеваля

s2(t) dt = (1/2p)|S(w)|2 dw.

Оно позволяет вычислять энергию сигнала, как по временной, так и по частотной области описания сигналов.

Интервал корреляции сигнала является числовым параметром оценки ширины АКФ и степени значимой корреляции значений сигнала по аргументу.

Если допустить, что сигнал s(t) имеет примерно равномерный энергетический спектр со значением W0 и с верхней граничной частотой до wв (форма центрированного прямоугольного импульса, как, например, сигнал 1 на рис. 6.3.3 с fв=50 Гц в одностороннем представлении), то АКФ сигнала определится выражением:

Bs(t) = (Wo/p)cos(wt) dw = (Wowв/p) sin(wвt)/(wвt).

Интервалом корреляции сигнала tк считается величина ширины центрального пика АКФ от максимума до первого пересечения нулевой линии. В данном случае для прямоугольного спектра с верхней граничной частотой wв первое пересечение нуля соответствует sinc(wвt) = 0 при wвt = p, откуда:

tк = p/wв =1/2fв. (6.3.4)

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. Для сигналов с плавным срезом по верхней граничной частоте роль параметра wв играет средняя ширина спектра (сигнал 2 на рис. 6.3.3).

Спектральная плотность мощности статистических шумов при единичном измерении представляет собой случайную функцию Wq(w) со средним значением Wq(w) Þ sq2, где sq2 – дисперсия шумов. В пределе, при равномерном спектральном распределении шумов от 0 до ¥, АКФ шумов стремится к значению Bq(t) Þ sq2 при t Þ 0, Bq(t) Þ 0 при t ¹ 0, т. е. статистические шумы не коррелированны (tк Þ 0).

Практические вычисления АКФ финитных сигналов обычно ограничиваются интервалом сдвигов t = {0, (3-5)tk}, в котором, как правило, сосредоточена основная информация по автокорреляции сигналов.

Спектральная плотность ВКФ может быть получена на основании тех же соображений, что и для АФК, или непосредственно из формулы (6.3.1) заменой спектральной плотности сигнала S(w) на спектральную плотность второго сигнала U(w):

Bsu(t) = (1/2p)S*(w) U(w) exp(jwt) dw. (6.3.5)

Или, при смене порядка сигналов:

Bus(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6.3.5")

Произведение S*(w)U(w) представляет собой взаимный энергетический спектр Wsu(w) сигналов s(t) и u(t). Соответственно, U*(w)S(w) = Wus(w). Следовательно, как и АКФ, взаимнокорреляционная функция и спектральная плотность взаимной мощности сигналов связаны между собой преобразованиями Фурье:

Bsu(t) Û Wsu(w) º W*us(w). (6.3.6)

Bus(t) Û Wus(w) º W*su(w). (6.3.6")

В общем случае, за исключением спектров четных функций, из условия несоблюдения четности для функций ВКФ следует, что взаимные энергетические спектры являются комплексными функциями:

U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).

Wuv = AuAv+BuBv+j(BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(w),

На рис. 6.3.4 можно наглядно видеть особенности формирования ВКФ на примере двух одинаковых по форме сигналов, сдвинутых относительно друг друга.

Рис. 6.3.4. Формирование ВКФ.

Форма сигналов и их взаимное расположение приведены на виде А. Модуль и аргумент спектра сигнала s(t) приведены на виде В. Модуль спектра u(t) тождественен модулю S(w). На этом же виде приведен модуль спектра взаимной мощности сигналов S(w)U*(w). Как известно, при перемножении комплексных спектров модули спектров перемножаются, а фазовые углы складываются, при этом для сопряженного спектра U*(w) фазовый угол меняет знак. Если первым в формуле вычисления ВКФ (6.2.1) стоит сигнал s(t), а сигнал u(t-t) на оси ординат стоить впереди s(t), то фазовые углы S(w) по мере увеличения частоты нарастают в сторону отрицательных значений углов (без учета периодического сброса значений на 2p), а фазовые углы U*(w) по абсолютным значениям меньше фазовых углов s(t) и нарастают (за счет сопряжения) в сторону положительных значений. Результатом умножения спектров (как это видно на рис. 6.3.4, вид С) является вычитание из фазовых углов S(w) значений углов U*(w), при этом фазовые углы спектра S(w)U*(w) остаются в области отрицательных значений, что обеспечивает сдвиг всей функции ВКФ (и ее пиковых значений) вправо от нуля по оси t на определенную величину (для одинаковых сигналов – на величину разности между сигналами по оси ординат). При смещении начального положения сигнала u(t) в сторону сигнала s(t) фазовые углы S(w)U*(w) уменьшаются, в пределе до нулевых значений при полном совмещении сигналов, при этом функция Bsu(t) смещается к нулевым значениям t, в пределе до обращения в АКФ (для одинаковых сигналах s(t) и u(t)).

Как известно для детерминированных сигналов, если спектры двух сигналов не перекрываются и, соответственно, взаимная энергия сигналов равна нулю, такие сигналы ортогональны друг другу. Связь энергетических спектров и корреляционных функций сигналов показывает еще одну сторону взаимодействия сигналов. Если спектры сигналов не перекрываются и их взаимный энергетический спектр равен нулю на всех частотах, то при любых временных сдвигах t друг относительно друга их ВКФ также равна нулю. А это означает, что такие сигналы являются некоррелированными. Это действительно как для детерминированных, так и для случайных сигналов и процессов.

Вычисление корреляционных функций при помощи БПФ является, особенно для длинных числовых рядов, в десятки и сотни раз более быстрым методом, чем последовательными сдвигами во временной области при больших интервалах корреляции. Суть метода вытекает из формул (6.3.2) для АКФ и (6.3.6) для ВКФ. Учитывая, что АКФ можно рассматривать как частный случай ВКФ при одном и том же сигнале, процесс вычисления рассмотрим на примере ВКФ для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К. Он включает:

1. Вычисление БПФ спектров сигналов x(k) → X(k) и y(k) → Y(k). При разном количестве отсчетов более короткий ряд дополняется нулями до размера большего ряда.

2. Вычисление спектров плотности мощности Wxy(k) = X*(k) Y(k).

3. Обратное БПФ Wxy(k) → Bxy(k).

Отметим некоторые особенности метода.

При обратном БПФ, как известно, вычисляется циклическая свертка функций x(k) ③ y(k). Если число отсчетов функций равно К, число комплексных отсчетов спектров функций также равно К, равно как и число отсчетов их произведения Wxy(k). Соответственно, число отсчетов Bxy(k) при обратном БПФ также равно К и циклически повторяется с периодом, равным К. Между тем, при линейной свертке полных массивов сигналов по формуле (6.2.5) размер только одной половины ВКФ составляет К точек, а полный двусторонний размер составляет 2К точек. Следовательно, при обратном БПФ с учетом цикличности свертки произойдет наложение на главный период ВКФ ее боковых периодов, как и при обычной циклической свертке двух функций.

На рис. 6.3.5 приведен пример двух сигналов и значения ВКФ, вычисленные линейной сверткой (В1ху) и циклической сверткой через БПФ (В2ху). Для исключения эффекта наложения боковых периодов необходимо дополнить сигналы нулями, в пределе, до удвоения количества отсчетов, при этом результат БПФ (график В3ху на рисунке 6.3.5) полностью повторяет результат линейной свертки (с учетом нормировки на увеличение количества отсчетов).

На практике число нулей продления сигналов зависит от характера корреляционной функции. Минимальное количество нулей обычно принимается равным значимой информационной части функций, т. е. порядка (3-5) интервалов корреляции.

литература

1. Баскаков цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1988.

19. Прикладной анализ временных рядов . – М.: Мир, 1982. – 428 с.

25. Сергиенко обработка сигналов. / Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 203. – 608 с.

33. Цифровая обработка сигналов. Практический подход. / М., "Вильямс", 2004, 992 с.

О замеченных опечатках, ошибках и предложениях по дополнению: *****@***ru.

Copyright ©2008 Davydov А. V .

Понятие корреляция означает схожесть. Корреляционная функция сигнала является функцией и определяется выражением

где τ – временной сдвиг сигнала.

При выражение (2.65) принимает вид

где Е - энергия сигнала. Таким образом, при нулевом временном сдвиге корреляционная функция равна энергии сигнала.

Кроме корреляционной функции (2.65) существует взаимно корреляционная функция, которая характеризует взаимную связь между значениями двух сигналов и определяется выражением:

Когда U1(t) и U2(t) являются одним и тем же сигналом U(t), то взаимно корреляционная и корреляционная функция совпадают.

Корреляционная функция принимает максимальное значение только при . Взаимно корреляционная функция двух одинаковых сигналов также достигает максимума при . Для различных сигналов U1(t) и U2(t) максимальное значение функции может достигать не при . Например, взаимно корреляционная функция косинусоиды имеет максимальное значение при .

Рассмотрим корреляционные функции типовых сигналов.

Прямоугольный видеосигнал и его корреляционная функция показаны на рис. 2.24.

Корреляционная функция периодического видеосигнала с периодом Т на основании (2.66) имеет вид:

(2.67)

Корреляционная функция гармонического сигнала равна:

Сигнал и его корреляционная функция показаны на рис 2.25.

Рис. 2.25. Гармонический сигнал (а) и его корреляционная функция (б).

Взаимно корреляционная функция двух гармонических сигналов одинаковой частоты и имеет вид:

(2.69)

Если и , то взаимно корреляционная функция (2.68) равна корреляционной функции гармонического сигнала (2.69).

Взаимно корреляционная функция двух гармонических сигналов с различными частотами равна нулю. Следовательно, гармонические сигналы с различными частотами являются некоррелированными (не схожими) между собой.

В теории связи корреляционная теория используется при исследовании случайных процессов, позволяя установить связь между корреляционными и спектральными свойствами случайных сигналов. Часто возникает задача обнаружения одного передаваемого сигнала в другом или в помехах. Для надежного обнаружения сигналов и применяется метод корреляции , основанный на корреляционной теории. На практике оказывается полезным анализ характеристики, дающей представление о скорости изменения во времени, а также длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.

Пусть копия сигнала u(t - т) смещена относительно своего оригинала u(t) на интервал времени т. Для количественной оценки степени отличия (связи) сигнала u(t) и его смещенной копии u(t - т) используют автокорреляционную функцию (АКФ). АКФ показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией - чем больше значение АКФ, тем это сходство сильнее.

Для детерминированного сигнала конечной длительности (финитного сигнала) аналитическая запись АКФ представляет собой интеграл вида

Формула (2.56) показывает, что при отсутствии сдвига копии относительно сигнала (т = 0) АКФ положительна, максимальна и равна энергии сигнала:

Такая энергия [Дж] выделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, если к его выводам подключить некоторое напряжение u(t) [В].

Одним из важнейших свойств АКФ является ее четность: В(т) = В(- т). Действительно, если в выражении (2.56) произвести замену переменной х = t - т, то

Поэтому интеграл (2.56) можно представить в другом виде:

Для периодического сигнала с периодом Г, энергия которого бесконечно велика (поскольку сигнал существует бесконечное время), вычисление АКФ по формуле (2.56) неприемлемо. В этом случае определяют АКФ за период:

Пример 2.3

Определим АКФ прямоугольного импульса, который имеет амплитуду Е и длительность т и (рис. 2.24).

Решение

Для импульса вычисления АКФ удобно провести графически. Такое построение показано на рис. 2.24, а - г, где приведены соответственно исходный импульс u(t) = u t сдвинутая на т его копия м т (?) = u(t - т) = м т и их произведение u(f)u(t - т) = uu v Рассмотрим графическое вычисление интеграла (2.56). Произведение u(t)u(t - т) не равно нулю на интервале времени, когда имеется наложение друг на друга любых частей сигнала и его копии. Как следует из рис. 2.24, этот интервал равен х - т м, если временной сдвиг копии меньше длительности импульса. В подобных случаях для импульса АКФ определится как В(т) = Е 2 (т и - |т|) при временном сдвиге копии на текущее время |т| В(0) = = Е 2 т и = Э (см. рис. 2.24, г).

Рис. 2.24.

а - импульс; 6 - копия; в - произведение сигнала и копии; г - АКФ

Часто вводят удобный для анализа и сравнения сигналов числовой параметр - интервал корреляции т к, аналитически и графически равный ширине основания АКФ. Для данного примера интервал корреляции т к = 2т и.

Пример 2.4

Определим АКФ гармонического (косинусоидального) сигнала u(t) = = t/ m cos(co? + а).

Рис. 2.25.

а - гармонический сигнал; б - АКФ гармонического сигнала

Решение

Используя формулу (2.57) и обозначив В п (т) = В(т), находим

Из этой формулы следует, что АКФ гармонического сигнала тоже является гармонической функцией (рис. 2.25, б) и имеет размерность мощности (В 2). Отметим еще один очень важный факт, что вычисленная АКФ не зависит от начальной фазы гармонического сигнала (параметр

Из проведенного анализа следует важный вывод: АКФ практически любого сигнала не зависит от его фазового спектра. Следовательно, сигналы, амплитудные спектры которых полностью совпадают, а фазовые различаются, будут иметь одинаковую АКФ. Еще одно замечание заключается в том, что по АКФ нельзя восстановить исходный сигнал (опять же вследствие утраты информации о фазе).

Связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала. Пусть импульсный сигнал u(t) имеет спектральную плотность 5(со). Определим АКФ но формуле (2.56), записав и(С) в виде обратного преобразования Фурье (2.30):

Введя новую переменную х = t - т, из последней формулы получим Здесь интеграл

есть функция, комплексно-сопряженная спектральной плотности сигнала

С учетом соотношения (2.59) формула (2.58) примет вид Функцию

называют энергетическим спектром (спектральной плотностью энергии) сигнала, показывающим распределение энергии по частоте. Размерность энергетического спектра сигнала соответствует величине IP/со) - [(В 2 -с)/Гц].

Учитывая соотношение (2.60), окончательно получим выражение для АКФ:

Итак, АКФ сигнала представляет собой обратное преобразование Фурье от его энергетического спектра. Прямое преобразование Фурье от АКФ

Итак, прямое преобразование Фурье (2.62) АКФ определяет энергетический спектр, а обратное преобразование Фурье энергетического спектра (2.61) - АКФ детерминированного сигнала. Эти результаты важны по двум причинам. Во-первых, исходя из распределения энергии но спектру становится возможным оценить корреляционные свойства сигналов - чем шире энергетический спектр сигнала, тем меньше интервал корреляции. Соответственно, чем больше интервал корреляции сигнала, тем короче его энергетический спектр. Во-вторых, соотношения (2.61) и (2.62) позволяют экспериментально определить одну из функций по значению другой. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем с помощью прямого преобразования Фурье вычислить энергетический спектр. Этот прием широко применяют при анализе свойств сигналов в реальном масштабе времени, т.е. без временной задержки при его обработке.

Взаимокорреляционная функция двух сигналов. Если надо оценить степень связи между сигналами u x (t) и u 2 (t), то используют взаимокорреля- ционную функцию (ВКФ)

При т = О ВКФ равна так называемой взаимной энергии двух сигналов

Значение ВКФ не меняется, если вместо задержки второго сигнала u 2 (t) рассматривать опережение его первым сигналом м,(?), поэтому

АКФ является частным случаем ВКФ, если сигналы одинаковы, т.е. u y (t) = u 2 (t) = u(t). В отличие от АКФ ВКФ двух сигналов В 12 (т) не является четной и необязательно максимальна при т = 0, т.е. при отсутствии временного сдвига сигналов.

Знаете ли Вы, что такое мысленный эксперимент, gedanken experiment?
Это несуществующая практика, потусторонний опыт, воображение того, чего нет на самом деле. Мысленные эксперименты подобны снам наяву. Они рождают чудовищ. В отличие от физического эксперимента, который является опытной проверкой гипотез, "мысленный эксперимент" фокуснически подменяет экспериментальную проверку желаемыми, не проверенными на практике выводами, манипулируя логикообразными построениями, реально нарушающими саму логику путем использования недоказанных посылок в качестве доказанных, то есть путем подмены. Таким образом, основной задачей заявителей "мысленных экспериментов" является обман слушателя или читателя путем замены настоящего физического эксперимента его "куклой" - фиктивными рассуждениями под честное слово без самой физической проверки.
Заполнение физики воображаемыми, "мысленными экспериментами" привело к возникновению абсурдной сюрреалистической, спутанно-запутанной картины мира. Настоящий исследователь должен отличать такие "фантики" от настоящих ценностей.

Релятивисты и позитивисты утверждают, что "мысленный эксперимент" весьма полезный интрумент для проверки теорий (также возникающих в нашем уме) на непротиворечивость. В этом они обманывают людей, так как любая проверка может осуществляться только независимым от объекта проверки источником. Сам заявитель гипотезы не может быть проверкой своего же заявления, так как причина самого этого заявления есть отсутствие видимых для заявителя противоречий в заявлении.

Это мы видим на примере СТО и ОТО, превратившихся в своеобразный вид религии, управляющей наукой и общественным мнением. Никакое количество фактов, противоречащих им, не может преодолеть формулу Эйнштейна: "Если факт не соответствует теории - измените факт" (В другом варианте " - Факт не соответствует теории? - Тем хуже для факта").

Максимально, на что может претендовать "мысленный эксперимент" - это только на внутреннюю непротиворечивость гипотезы в рамках собственной, часто отнюдь не истинной логики заявителя. Соответсвие практике это не проверяет. Настоящая проверка может состояться только в действительном физическом эксперименте.

Эксперимент на то и эксперимент, что он есть не изощрение мысли, а проверка мысли. Непротиворечивая внутри себя мысль не может сама себя проверить. Это доказано Куртом Гёделем.